größte untere Schranke

08.02.2009, 22:44

täschi

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größte untere Schranke

Hallo,

ich soll folgende Aufgabe löse:

Sei n>0 eine durch 99 teilbare ganze Zahl. Man bestimme eine größte untere Schranke für die Quersumme von n.

Leider weiß ich nicht, wie ich die größte untere Schranke einer Quersumme bestimmen kann.

Hat es etwas damit zu tun, dass n durch die 11 und die 9 teilbar ist und diese teilerfremd sind?

Ich dank euch schon im Voraus für eure Hilfe und Tipps.

LG täschi

08.02.2009, 22:53

tmo

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Da die Quersumme durch 9 teilbar ist und die Quersumme 18 sein kann (99 als Beispiel), kommen doch nur 9 und 18 als größte untere Schranke in Frage.

Betrachte dann mal die Quersumme einer durch 11 teilbaren Zahl modulo 2.

08.02.2009, 23:38

täschi

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Danke erstmal für die schnelle Antwort
Die 18 habe ich auch schon in Betracht gezogen, aber wie beweise ich das?
Oder ist es doch die 9? Ich muss die größte untere Schranke für alle Quersummen von n>0 bestimmen?

08.02.2009, 23:41

tmo

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Zitat:

Original von tmo
Betrachte dann mal die Quersumme einer durch 11 teilbaren Zahl modulo 2.

Wenn du dies getan hast, ist die Frage beantwortet.

09.02.2009, 09:32

täschi

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Also die 9 smile

smile

Aber wie zeigt man das? Geht man dann einfach von n=99 aus, weil das die kleinste Zahl für n>0 und 99|n und man ja die untere Schranke benutzen möchte? Und modulo 2 hast du gewählt, weil man die zwei Teiler 9 und 11 benutzt?

09.02.2009, 09:54

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Zitat:

Original von täschi
Also die 9 smile

smile

Falls du das so meinst, dass 9 die Antwort ist, dann hast du dich geirrt:

Wenn es 9 wäre, müsstest du ja auch eine durch 99 teilbare Zahl mit Quersumme 9 angeben können ... was dir nicht gelingen wird.

Nein, du musst begründen, warum die 9 als Quersumme nicht möglich ist - und dabei hilft die alternierende Quersummenregel für Teilbarkeit durch 11.

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09.02.2009, 11:04

täschi

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Danke für den Hinweis.

Ich dachte ja auch anfangs, dass die 18 die größte untere Schranke sei. Aber man hat mir gesagt, dass es falsch ist. Stimmt das?

Eine Zahl ist durch 99 teilbar, wenn sie durch 11 und 9 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn die Quersumme durch 9 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 11 teilbar, wenn die alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist oder die Quersumme der 2. Ordnung.
D.h. wenn ich die 99 betrachte, dann 9+9=18 --> ist durch 9 teilbar.
Für 11: 9-9=0 oder 99:11= 9 stimmt also.
Aber wie finde ich jetzt die größte untere Schranke? Irgendwie versteh ich das nicht. Ich dachte es wäre die 18 verwirrt

verwirrt

09.02.2009, 13:03

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Nimm doch einfach mal an, dass die Quersumme

$\begin{eqnarray*} a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_n \end{eqnarray*}$

gleich 9 ist. Welche Möglichkeiten gibt es dann für die alternierende Quersumme

$\begin{eqnarray*} a_0 - a_1 + a_2 -+ \ldots + (-1)^na_n \end{eqnarray*}$ ?

Tipp: Summiere mal beide Quersummen. Was fällt da auf für die Summe?

09.02.2009, 18:30

täschi

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hey,

hab es aus probiert und komme zu:

wenn ich annehme, dass ich eine Quersumme habe:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^m(a_k) \end{eqnarray*}$
und eine alternierende Quersumme:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^m(a_k\cdot (-1)^k) \end{eqnarray*}$
und diese addiere, dann erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^m (a_k+a_k\cdot(-1)^k) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^m(a_k((-1)^k+1)) \end{eqnarray*}$
dabei fällt auf, dass in der Klammer $\begin{eqnarray*} (a_k((-1)^k+1)) \end{eqnarray*}$ bei k ungerade (k=2h+1) immer Null rauskommt und bei k gerade (k=2h) die zwei.
So komme ich zu einer neuen Summe der Ziffern:
$\begin{eqnarray*} \sum_{h=0}^m(a_{2h}) \end{eqnarray*}$
Ist es so weit richtig? Oder habe ich wieder falsch gedacht?
Ich sehe leider immer noch nicht die größte untere Schranke traurig

traurig

09.02.2009, 18:39

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Maßgeblich ist, dass die von mir genannte Summe der beiden Quersummen immer gerade (!!!) ist. Was man auch so übersetzen kann:

Entweder sind beide gerade, oder beide ungerade - Mischformen "gerade/ungerade" können nicht auftreten. Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.02.2009, 19:56

täschi

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Ja genau, die Summe ist immer gerade und somit muss doch auch die größte obere Schranke gerade sein oder? Und gehe ich jetzt weiter vor, um die Schranke zu bestimmen? Also muss ich doch ein
$\begin{eqnarray*} x<= {2a_0, 2a_0+2a_2, 2a_0+2a_2+2a_4, \ldots, } \end{eqnarray*}$
finden oder? Demnach ist das a zu bestimmen, richtig?

09.02.2009, 20:14

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Ich hatte an was viel einfacheres gedacht: Die Quersumme 9 ist ungerade, also muss nach den Überlegungen von eben die alternierende Quersumme auch ungerade sein. Da sie gleichzeitig durch 11 teilbar sein muss, ist sie betragsmäßig mindestens 11. Folglich gilt

$\begin{eqnarray*} 11 \leq |a_0-a_1+a_2-+ \cdots| \leq a_0+a_1+a_2+ \cdots \end{eqnarray*}$ ,

die Quersumme ist also mindestens gleich 11. Von den Möglichkeiten 9 oder 18 ist damit Möglichkeit 9 ausgeschlossen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.02.2009, 22:47

täschi

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Dass, beide Quersummen ungerade sind, ist einleuchtend.
Aber wie meinst du das mit dem Betrag? was ist z.B. mit der Zahl 99?
Wenn ich die alternierende Quersumme bilde, dann erhalte ich 9-9=0 und einen Betrag von 0 kann man doch nicht bilden bzw. ist doch nicht größer als 11? Oder habe ich das jetzt falsch verstanden?

09.02.2009, 23:08

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Zitat:

Original von täschi
Wenn ich die alternierende Quersumme bilde, dann erhalte ich 9-9=0 und einen Betrag von 0 kann man doch nicht bilden bzw. ist doch nicht größer als 11? Oder habe ich das jetzt falsch verstanden?

Wir reden hier nur davon, den Fall "Quersumme = 9" auszuschließen - ich dachte, das wäre klar:

Zitat:

Original von Arthur Dent
Nimm doch einfach mal an, dass die Quersumme

$\begin{eqnarray*} a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_n \end{eqnarray*}$

gleich 9 ist. Welche Möglichkeiten gibt es dann für die alternierende Quersumme

$\begin{eqnarray*} a_0 - a_1 + a_2 -+ \ldots + (-1)^na_n \end{eqnarray*}$ ?

Da kommst du mit einem Beispiel, was die Quersumme 18 hat - aaarggghhhh Finger1

Finger1

10.02.2009, 20:51

täschi

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oh,

da hab ich wohl was falsch verstanden. Für mich war es eigentlich klar, dass die 9 raus fällt. Ich dachte, wir würden dann nach der größten unteren Schranke der Quersumme einer Zahl die durch 99 teilbar ist suchen (siehe Aufagbe).

Aber ich weiß leider immer noch nicht, wie man vorgehen soll. Ich weiß, dass die Quersumme durch 9 teilbar sein und die alternierende durch 11. Wenn man die Reihe der Zahlen aufstellt, die durch 99 teilbar sind bzw. die Vielfachen von 99, dann kommt vorerst immer die 18 als Quersumme raus. Aber das muss man doch beweisen, dass es für alle Quersummen gilt?! Und wie macht man das? Bzw. kann es ja auch eine kleinere Zahl als größte untere Schranke geben, die ich nicht in Betracht gezogen habe.

10.02.2009, 20:54

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Zitat:

Original von täschi
da hab ich wohl was falsch verstanden. Für mich war es eigentlich klar, dass die 9 raus fällt. Ich dachte, wir würden dann nach der größten unteren Schranke der Quersumme einer Zahl die durch 99 teilbar ist suchen (siehe Aufagbe).

Genau, nach letzterer suchen wir.

Dann erklär doch mal, wieso so "klar" ist, dass Quersumme 9 rausfällt! Um nichts anderes ging es in den letzten 10 Beiträgen - dann hätten wir uns die ja sparen können. Woran du bei diesen 10 Beiträgen gedacht hast, bleibt mir ein völliges Rätsel, und ich bin schon ziemlich verärgert über mich, meine Zeit derart sinnlos verschwendet zu haben. böse

böse

11.02.2009, 14:43

täschi

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Oh, das tut mir wirklich leid!!! Ups

Ups

Wollte nicht, dass du deine Zeit verschwendest. Ich denke nicht, dass es Zeitverschwendung war!!!

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