Umformung einer Summe

07.09.2006, 22:20	pfnuesel	Auf diesen Beitrag antworten »
Umformung einer Summe Hallo Beim Skript zur Allgemeinen Mechanik habe ich da eine Stelle, die ich einfach nicht verstehe. Ich wäre froh wenn mir das jemand erläutern könnte. Also, wir suchen eine Koordinatentransformation, die die Hamilton-Gleichungen forminvariant lassen. Dabei kommen wir nach einigem Hin und Her zu folgender Gleichung: $\begin{eqnarray} \sum_{m,i=1}^{2f}\frac{\partial{\overline{H}}}{\partial{\overline{x_{m}}}} \frac{\partial{\overline{x_{m}}}}{\partial{x_{i}}} \frac{\partial{x_{i}}}{\partial{\overline{x_{r}}}} = \sum_{m,i=1}^{2f}\frac{\partial{\overline{H}}}{\partial{\overline{x_{m}}}}\delta_{mr} = \frac{\partial{\overline{H}}}{\partial{\overline{x_{r}}}} \end{eqnarray}$ Dabei ist $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ die Hamilton-Funktion (die hier nicht weiter wichtig ist), $\begin{eqnarray} x_{u} \end{eqnarray}$ sind Koordinaten und $\begin{eqnarray} \delta_{mr} \end{eqnarray}$ das Kronecker-Symbol. Nun zu meiner Frage: Müsste der Ausdruck nicht folgendermassen umgeformt werden? $\begin{eqnarray} \sum_{m,i=1}^{2f}\frac{\partial{\overline{H}}}{\partial{\overline{x_{m}}}} \frac{\partial{\overline{x_{m}}}}{\partial{x_{i}}} \frac{\partial{x_{i}}}{\partial{\overline{x_{r}}}} = \sum_{m,i=1}^{2f}\frac{\partial{\overline{H}}}{\partial{\overline{x_{m}}}}\delta_{mr} = \sum_{i=1}^{2f}\frac{\partial{\overline{H}}}{\partial{\overline{x_{r}}}} = 2f\frac{\partial{\overline{H}}}{\partial{\overline{x_{r}}}} \end{eqnarray*}$ Irgendwo mach ich wohl einen ganz einfachen Überlegungsfehler. Aber ich komme nicht drauf!
09.09.2006, 10:13	xrt-Physik	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist hier eine Gleichung, wo gilt: $\begin{eqnarray} \frac{dx_{m}}{dx_{r}} = \delta_{mr} \end{eqnarray}$ und wenn mann in dieser Gleichung alles rauskürzt, kommt man auf: $\begin{eqnarray} \sum_{m,i=1}^{2f}~\frac{dH}{dx_{r}} \end{eqnarray}$ Was ist denn bei dir der Summationsindex, wenn er unten i = 1 und nicht m,i = 1 beträgt? Und du hast dann $\begin{eqnarray} \sum_{m,i=1}^{2f}~\frac{dH}{dx_{r}} \end{eqnarray}$ wie eine konstante Zahl behandelt, also dass du bei der Summe einer konstanten Zahl einfach 2f drangehängt hast? Die Summe müsste anders gebildet werden... Gruß xrt-Physik Physikexperte
09.09.2006, 12:03	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
xrt, du musst dir mal anschauen, was das Kronecker-Delta ist. pfnuesel, dein 2. und 3. Gleichheitszeichen halte ich für richtig, ohne nachgeschaut zu haben, was die Hamilton-Funktion ist (das 1. hab ich mir nicht weiter angeschaut, da du dir ja mit deinem Skript einig zu sein scheinst ). Gruß vom Ben
10.09.2006, 13:21	pfnuesel	Auf diesen Beitrag antworten »
Zuerst mal danke für eure Antworten. Also beim ersten Gleichheitszeichen gehe ich mit dem Skript einig. Beim zweiten lasse ich alle Summanden weg, bei denen $\begin{eqnarray} m \not= r \end{eqnarray}$ . Also summiere ich dann nur noch über $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ aber ist unabhängig von $\begin{eqnarray} \frac{\partial{\overline{H}}}{\partial{\overline{x_{r}}}} \end{eqnarray}$ , weshalb die Summe doch $\begin{eqnarray} 2f\frac{\partial{\overline{H}}}{\partial{\overline{x_{r}}}} \end{eqnarray*}$ ergibt?

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