Ableitung: Wurzel mit Parameter

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10.02.2009, 16:06	derGeist	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung: Wurzel mit Parameter Hallo, ich habe Schwierigkeiten die erste Ableitung von $\begin{eqnarray} f(x) = (a-x)^{1/3} \end{eqnarray}$ zu finden. Kann es sein, dass f'(x) = f(x) ist ? (nach x ableiten) Danke im Voraus!
10.02.2009, 16:09	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung: Wurzel mit Parameter Wenn a - x = e^(3x) oder a-x = 0 (für alle x) gilt, ja, ansonsten nein. Hast du auch eine Rechnung oder eigene Ideen?
10.02.2009, 16:12	Zizou66	Auf diesen Beitrag antworten »
Einfach ganz normal die Kettenregel drauf anwenden... Edit: sorry, zu spät...
10.02.2009, 16:22	derGeist	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach Kettenregel, kommt das hin ? $\begin{eqnarray} f'(x) = \frac{1}{3}(a-1)(a-x)^{-2/3} \end{eqnarray}$
10.02.2009, 16:24	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Innere Ableitung ist falsch, a ist eine Konstante.
10.02.2009, 16:25	derGeist	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f'(x) = -\frac{1}{3}(a-x)^{-2/3} \end{eqnarray*}$ Dann a weglassen ?
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10.02.2009, 16:34	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt jetzt so.
10.02.2009, 16:56	derGeist	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke dir, die zweite Ableitung ist demnach: $\begin{eqnarray} f''(x) = -\frac{2}{9} (a-x)^{-\frac{5}{3}} \end{eqnarray*}$ Stimmt das auch ?
10.02.2009, 17:03	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »

10.02.2009, 21:33	derGeist	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich will jetzt das Maximum (globales) für a > 0 suchen. Notwendige Bedingung ist demnach $\begin{eqnarray} f'(x) = 0 \end{eqnarray}$ Hinreichende Bedingund ist $\begin{eqnarray} f''(x) \neq 0 \end{eqnarray}$ Irgendwie weiss ich jetzt nicht wie ich weitermachen soll. Erste Ableitung setze ich $\begin{eqnarray} 0 = -\frac{1}{3}(a-x)^{-2/3} \end{eqnarray}$ Jetzt muss ich sicherlich nach x umstellen und in die Anfangsgleichung $\begin{eqnarray} f(x) = (a-x)^{1/3} \end{eqnarray*}$ einsetzen. Hier hab ich schon das Problem nach x umzustellen. Weiss jemand Rat ? Aufgabe ist: Zwischen Koordinatenachsen und demm Graphen das Rechteck mit maximaler Fläche zu finden.
10.02.2009, 21:37	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Produkt wird 0 wenn einer der Faktoren 0 wird.
10.02.2009, 22:10	derGeist	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich das jetzt richtig intepretiere, dannn soll (a - x) = 0. Folglich muss a = x sein ? Aber das ergibt für mich kein Sinn. Dann setze ich a für x in die Anfangsgleichung ein. Da kommt da 0 raus. Was sagt mir das ?
10.02.2009, 22:15	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass der Punkt mit dem evtl. Extremum bei P(0\|0) liegt.
10.02.2009, 22:23	derGeist	Auf diesen Beitrag antworten »
Also nochmal alles zusammengefasst: $\begin{eqnarray} f(x) = (a-x)^{1/3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x) = -\frac{1}{3}(a-x)^{-2/3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(x) = -\frac{2}{9} (a-x)^{-\frac{5}{3}} \end{eqnarray}$ Mögliches Extremum bei P(0;0). Zurück zur Aufgabenstellung: Ich brauche ja für die maximale Fläche des Rechtecks ja folgende Gleichung: $\begin{eqnarray} A = xy \end{eqnarray}$ also => $\begin{eqnarray} A = x(a-x)^{1/3} \end{eqnarray}$ (a > 0) Wenn das Rechteck mit maximaler Fläche zwischen Koordinatenachse und Graphen gesucht ist, dann muss ich doch nur eine Gleichung A(a) = .... , die a abhängt, finden oder ? Denn ich kann ja nicht genau sagen, "wie groß die Fläche ist" ? Irgendwie seh ich den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr.
10.02.2009, 22:31	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast A(x) ja schon aufgestellt, jetzt musst du die Funktion nur noch auf Maxima durchsuchen.
10.02.2009, 22:50	derGeist	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich überlege schon die ganze Zeit, aber es will nicht. A = x*y Ich weiß jetzt, dass bei x = 0 ein Maximum ist. 0 setze ich in die Gleichung ein, dann habe ich als y-Achsenwert => y = a^(1/3) Der Funktionswert (y-Abstand) ist ja eine Seite des Rechtecks. Jetzt suche ich eine Stelle x, an der es ebenfalls ein Maximum gibt, damit ich von dieses ich x als zweiten Faktor für die Flächeninhaltsgleichung verwenden kann. Soweit bin ich schon mit dem Verständnis. Aber wie zum Teufel find ich dieses x ? Sorry, mag vielleicht ein wenig doof klingen. Aber ich steh auf dem Schlauch... Aber die Funktion ist ja gegen +Unendlich monoton fallend! Wie geht das dann ?
10.02.2009, 22:59	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst ja A(x) und nicht f(x) ableiten. und es ist egal wo das Minimum ist, praktisch gesehen ist es nur durch die Wurzel beschränkt. Dadurch entsteht ein neues Maximum. Also leitest du A(x) nach der Produktregel ab, und suchst da ein Maxmimum, was irgendwo existiert.
10.02.2009, 23:20	derGeist	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung nach Produktregel: $\begin{eqnarray} A'(x) = \sqrt[3]{a-x}- \frac{(a-x)^{-\frac{2}{3}}}{3} = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} => (a-x) = 0 \end{eqnarray}$ Und was ist dann x ?? a? Das ist genau das gleiche Schema was ich vorhin auch raus hatte.
10.02.2009, 23:25	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Diesmal hast du kein Produkt mehr, jetzt musst du den Bruch rüberbringen und dann hoch das ganze hoch 3 nehmen und dann munter rechnen.
11.02.2009, 13:38	derGeist	Auf diesen Beitrag antworten »
So weit bin ich jetzt gekommen mit den Äquivalenzumformungen: $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{a-x} = (a-x)^{-\frac{2}{3}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (a-x) = (\frac{(a-x)^{-\frac{2}{3}}}{3} )^{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (a-x) = \frac{(a-x)^{-2}}{9} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (a-x) = \frac{1}{9(a-x)^{2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (a-x)^{3} = \frac{1}{9} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x = \sqrt[3]{\frac{1}{9}} -a \end{eqnarray}$ Lautet meine Gleichung dann: $\begin{eqnarray} A_{max} = (\sqrt[3]{\frac{1}{9}}-a)(a^{2}-\sqrt[3]{\frac{1}{9}})^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray}$ Ist das ungefähr richtig ? Und kann man das noch weiter vereinfachen ?
11.02.2009, 13:43	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht recht gut aus, außer dass 3^3 nicht 9 ergibt
11.02.2009, 13:47	derGeist	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach stimmt, hatte auf meine Blatt irgendwie 3^2 stehen gehabt. Wieso auch immer. Ist natürlich 27. $\begin{eqnarray} A_{max} = (\sqrt[3]{\frac{1}{27}}-a)(a^{2}-\sqrt[3]{\frac{1}{27}})^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray}$ Kann man $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{\frac{1}{27}} = (\frac{1}{27})^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ irgendwie noch einfacher als Bruch schreiben ?
11.02.2009, 13:52	sdfds	Auf diesen Beitrag antworten »
Was war noch 3^3? Was ist dann 27^(1/3)?
11.02.2009, 13:52	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
3^3 = 27 und jetzt die 3. Wurzel aus 27 - du wirst doch da irgendeine Verbindung sehen oder nicht?
11.02.2009, 13:56	derGeist	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann ist das wohl $\begin{eqnarray} \frac{1}{3} \end{eqnarray}$ nehm ich mal an... Irgendwie komm ich aber trotzdem nicht auf die richtige Lösung. Meine ist: $\begin{eqnarray} A_{max} = (\frac{1}{3}-a)(a^{2}-\frac{1}{3})^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray}$ Richtige Lösung (laut Lehrer) ist nämlich: $\begin{eqnarray} A_{max}= \frac{3}{4} a(\frac{a}{4})^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ Anmerkung: Einen Wert für a hab ich eingesetzt und probiert, verschiedene Ergebnisse.
11.02.2009, 19:40	derGeist	Auf diesen Beitrag antworten »
Keiner eine Idee was ich falsch mache ?
11.02.2009, 19:43	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerade gesehen, als du x ausgerechnet hast, hast du vergessen mit minus 1 zu multiplizieren. Du hast quasi -x eingesetzt, ob das der einzige Fehler ist, weiß ich nicht, aber es ist einer.

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