Definition von Reihen

12.02.2009, 11:54

stereo

Definition von Reihen

Hallo,
ich verstehe folgende Definition nicht.

Sei $\begin{eqnarray*} \left (a_n\right)_{n=1}^{\infty} \end{eqnarray*}$ reele Zahlenfolge. Die Folge $\begin{eqnarray*} \left (s_n\right)_{n=1}^{\infty} \end{eqnarray*}$ der n-ten Partialsummen heißt Reihe (oder unendliche Reihe) mit den Gliedern $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ . In Zeichen: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} a_k \end{eqnarray*}$ . Das Glied $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ der Folge ist der k-te Summand der Reihe.

Also es ist doch:

$\begin{eqnarray*} \left (s_n\right)_{n=1}^{\infty} := \sum_{k=1}^{\infty} a_k \end{eqnarray*}$

Aber was hat die Folge $\begin{eqnarray*} \left (a_n\right)_{n=1}^{\infty} \end{eqnarray*}$ damit zu tun?

12.02.2009, 12:04

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Eine sehr seltsame Frage: Wie werden denn die Partialsummen berechnet? Na einfach

$\begin{eqnarray*} s_n = \sum_{k=1}^n a_k \end{eqnarray*}$ ,

dazu brauchst du doch die $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ !

12.02.2009, 12:09

stereo

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Ich habe doch nach den $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ gefragt

Das ist mir schon klar wie Partialsummen aussehen.

Wenn die Frage so seltsam ist, dann ist wohl

$\begin{eqnarray*} \left(a_n\right)_{n=1}^{\infty} = \left(s_n\right)_{n=1}^{\infty} \end{eqnarray*}$

12.02.2009, 12:19

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Zitat:

Original von stereo
Ich habe doch nach den $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ gefragt

Und ich habe drauf geantwortet, wozu man diese Folge braucht. Irgendwie verstehe ich dein Anliegen nicht. unglücklich

Zitat:

Original von stereo
dann ist wohl

$\begin{eqnarray*} \left(a_n\right)_{n=1}^{\infty} = \left(s_n\right)_{n=1}^{\infty} \end{eqnarray*}$

Nein, natürlich nicht. geschockt

12.02.2009, 12:46

stereo

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Hmmm, also ich weiß jetzt nicht direkt wie ich es erklären soll.

Also die Reihe wird definiert durch eine Zahlenfolge. Diese wird hier bezeichnet mit $\begin{eqnarray*} (s_n) \end{eqnarray*}$ .

Die $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ sind die Glieder der Reihe.

Wenn

$\begin{eqnarray*} s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k \end{eqnarray*}$

Dann ist der letzte Summand der Reihe gleich der Zahlenfolge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ an der Stelle n.

Ist das die Argumentation dieser Definition? Die $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ beziehen sich auf die $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ ?

12.02.2009, 13:05

Sly

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Nein. Man bezeichnet den n-ten Summanden der ganzen Reihe (und das ist nunmal a_n) als das n-te Reihenglied. Mehr nicht.

12.02.2009, 13:06

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Also statt auf deine immer merkwürdiger anmutenden Fragen einzeln einzugehen, hier nochmal ein kurzer Abriss, was eine Reihe ist:

Man geht aus von einer normalen Zahlenfolge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n=1,2,\ldots} \end{eqnarray*}$ , diese wird auch bezeichnet als Folge der Reihenglieder. Aus dieser Folge bastelt man sich eine neue Folge $\begin{eqnarray*} (s_n)_{n=1,2,\ldots} \end{eqnarray*}$ gemäß

$\begin{eqnarray*} s_n := \sum_{k=1}^n a_k = a_1 + a_2 + \cdots + a_n \end{eqnarray*}$ ,

diese neue Folge bezeichnet man als Folge der Partialsummen oder auch kurz Reihe. Und diese wird wiederum kurz symbolisiert durch $\begin{eqnarray*} (s_n)_{n=1,2,\ldots} =: \sum_{k=1}^{\infty} a_k \end{eqnarray*}$ .

Soweit ist doch alles klar und deutlich. Was die Sache höchstens noch für Anfänger verwirrend macht ist die Tatsache, dass im Falle der Konvergenz der Partialsummenfolge der entsprechende Grenzwert auch mit $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} a_k \end{eqnarray*}$ bezeichnet wird! D.h., das Symbol $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} a_k \end{eqnarray*}$ kann sowohl für eine Folge (die Partialsummenfolge) als auch für deren Grenzwert stehen. Was nun gerade von diesen beiden Interpretationen gemeint ist, sollte aus dem Kontext hervorgehen - da gibt es auch kaum Verwechslungsgefahr.

12.02.2009, 13:11

stereo

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Man geht aus von einer normalen Zahlenfolge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n=1,2,\ldots} \end{eqnarray*}$ , diese wird auch bezeichnet als Folge der Reihenglieder. Aus dieser Folge bastelt man sich eine neue Folge $\begin{eqnarray*} (s_n)_{n=1,2,\ldots} \end{eqnarray*}$ gemäß

$\begin{eqnarray*} s_n := \sum_{k=1}^n a_k = a_1 + a_2 + \cdots + a_n \end{eqnarray*}$ ,

diese neue Folge bezeichnet man als Folge der Partialsummen oder auch kurz Reihe. Und diese wird wiederum kurz symbolisiert durch $\begin{eqnarray*} (s_n)_{n=1,2,\ldots} =: \sum_{k=1}^{\infty} a_k \end{eqnarray*}$ .

Vielen Dank smile

Sehr verständlich

Prost

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