Konvergenz - dickes Problem

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MMel Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz - dickes Problem
Hallo,
ich habe ein ganz dickes Problem mit der Konvergenz. Da ich selbst nicht auf einen Lösungsansatz zum Beweisen von Konvergenz komme, versuche ich Lösungen von anderen zu verstehen...was allerdings nicht viel leichter ist und weshalb ich eure Hilfe brauche!

Ich fange erstmal mit einer Frage an und stelle dann die anderen, wenn ich die Frag evorher verstanden habe!

Wir sollen die Folge auf Beschränktheit, Konvergenz und Divergenz untersuchen und ggf den Grenzwert angeben.
Die Lösung dazu sieht folgendermaßen aus:
Beweis durch Induktion

Induktionsanfang: n=2 : 2 2
Induktionsschritt:

für

Ich verstehe nicht, wie man auf und kommt!

Danke für eure Hilfe
JustPassingBy Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, irgendwie finde ich die Lösung zu kompliziert.

Das die Folge gegen 0 konvergiert, sieht ja ein Blinder mit der Gehhilfe.
Immerhin kommt von einem Folgenglied n zum nächsten n+1 lediglich ein Faktor hinzu, was gegen 0 strebt.
Also wie könnte man nun mathematisch beweisen, dass diese Folge in der Tat gegen 0 strebt?

Also zuerst mit den sich ständig verändernden Variablen zu hantieren, ist mühsam, deswegen würde ich versuchen, die Folge durch eine Folge der Art abzuschätzen.
Aber das stimmt noch nicht so ganz, zwar sinkt meine Abschätzung ab einen Punkt langsamer als die eigentlich Folge, allerdings geht die eigentliche Folge am Anfang etwas hoch.
Naja, dann betrachte ich mir einfach (10 habe ich einfach zufällig gewählt, ist bestimmt viel zu hoch).
Diese Folge ist größer als unsere Folge und strebt klarerweise gegen 0.
Und da unsere Folge immer größer als 0 ist, muss sie auch gegen 0 streben, das sogenannte Sandwichprinzip... hm, Sandwich....
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz - dickes Problem
Zitat:
Original von MMel
Ich verstehe nicht, wie man auf und kommt!

Wie man darauf kommt, ist doch völlig wurscht. Hauptsache ist, daß die Ungleichung stimmt. Und soooo kompliziert, wie JustPassingBy meint, ist der Lösungsweg nicht. Jedenfalls ist sein Alternativvorschlag auch nicht einfacher. smile
Himbeer-Toni Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz - dickes Problem
Für alle gilt:

klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz - dickes Problem
Im Grunde gehört auch das mit vollständiger Induktion nachgewiesen.
MMel Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für eure vielen Antworten!
Im Allgemeinen zeigt man Konvergenz (z.b. einer Folge) doch, indem man ihre Monotonie und Beschränktheit zeigt....
Das mit der Beschränktheit ist kein Problem, aber wie zeigt man am besten Monotonie?
Die Definition für monoton wachsende Folge ist doch, dass für jedes a aus der Folge gelten muss:

Wenn ich jetzt die Folge auf Monotonie untersuchen will, kann ich dann einfach (in diesem Fall würde ich setzen) und dann gucken, ob das, was rauskommt immer großer bzw. kleiner 0 ist?

Das habe ich probiert:

Darf ich das denn Qudrieren? Dann hätte ich

Und darf ich das dann abschätzen mit

Habe ich damit dann schon ezeigt, dass die Folge monoton fallend ist, weil ja ist....
kann man das so machen?

Mir fällt gerade auf, dass ich das gar nicht auf einen Bruch htte schreiben müssen, sondern die Unformung auch so hätte machen können, dann wäre das Ergebnis auch deutlicher!

Kann man das überhaupt so machen oder ist der ganze Weg völlig falsch?

Danke schonmal...
 
 
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige, wenn ich nicht auf deine Überlegungen eingehe, aber das ist mir alles zu umständlich, weil man das viel einfacher angehen kann.

Eine stattliche Anzahl rekursiv definierter Folgen kann man nämlich hinsichtlich Monotonie mit folgendem Lemma erschlagen:

Zitat:
Es sei rekursiv definiert gemäß



mit einer streng monoton wachsenden Funktion , wobei .

Dann folgt für

(1) mit auch, dass die Folge streng monoton wachsend ist,

oder

(2) mit auch, dass die Folge streng monoton fallend ist.

Der Beweis ist mit vollständiger Induktion geradezu spottbillig.

------------------------------------------

Im vorliegenden Fall erfüllt auf die Voraussetzungen des Lemmas. Augenzwinkern
MMel Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, okay, Danke, das ist wirklich viel einfacher!

Damit hier mein nächstes Problem:
Warum ist ??
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Schreib dir diese Summe doch mal ohne das Summenzeichen auf Augenzwinkern
MMel Auf diesen Beitrag antworten »

damit krieg ich raus, dass sich die Summe für jedes weitere glied immer mehr der 1 annähert....(also: 1/2; 2/3; 3/4; 4/5; 5/6; ....)
Für mich ist das n/n - 1/n und nicht n/n - 1/(n+1) ?! verwirrt
Felix Auf diesen Beitrag antworten »



So kannst du dir es mal anschaulich machen. Du kannst das ganze auch sehr leicht über vollständige Induktion beweisen ...
MMel Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das hab ich mal berechnet (bis n=5) und bekomme für n=1 1/2 raus, für n=2 2/3 (1/2 + 1/6), für n=3 3/4 (1/2 + 1/6 +1/12) etc. Das sieht für mich eher aus wie n/n - 1/n...
ich glaube, ich versteh nicht ganz, was du meinst... verwirrt
Wir sollen das nicht beweisen, ich will nur wissen, wie man auf sowas kommt ( es ist teil eines Beweises)
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du für n=1 1/2 herausbekommst, dann ist das doch nichts anders als
1 - 1/n+1=1 - 1/2 = 1/2 ...

Edit und nur weil es Teil eines Beweises ist, heißt das noch lange nicht, dass man es nicht beweisen muss. Du kannst dir ja nicht einfach eine Behauptung aus den Haaren ziehen und die dann für einen Beweis verwenden ...
MMel Auf diesen Beitrag antworten »

nein ich will ja nichts beweisen, es wurde etwas damit bewiesen und ich versuche es nachzuvollziehen!

Ja aber das gilt doch nur für n=1. Für n=2 wäre das dann doch schon 1-1/2+1/2-1/3, also 1-2/3 und das ist doch nicht 1-1/(n+1), sonder 1-n/(n+1), oder?
MMel Auf diesen Beitrag antworten »

Ohhh, ok, ich habs!!
ich nehm das was ich gerade geschrieben habe zurück...hab mich verrechnent! *schäm*

Danke für deine Hilfe!!
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Augenzwinkern
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