Abstandsberechnung zweier Ebenen

13.02.2009, 00:13

Dalice66

Abstandsberechnung zweier Ebenen

Hi Leute,
gegeben sind zwei Ebenen:

$\begin{eqnarray*} e_1:x_1+3x_2-2x_3-6=0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} e_1:-x_1-3x_2+2x_3+20=0 \end{eqnarray*}$

Unschwer zu erkennen, dass sie parallel sind...
So, jetzt möchte ich den Abstand der Ebenen zueinander ausrechnen.

HNF

$\begin{eqnarray*} |\frac{x_1+3x_2-2x_3}{\sqrt{14}}|=d \end{eqnarray*}$

alles noch kein Problem.

e2 geht laut der Aufgabe durch den Punkt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Um zu überprüfen, ob der Punkt wirklich auf der ersten Ebene liegt, setzte ich ihn ein. Nach dem Einsetzen muss ich mit Erschrecken feststellen, dass ich aber nicht den Wert -6 herausbekomme.

$\begin{eqnarray*} 1+3*(5)+(-2*-2)=20 \end{eqnarray*}$

Was mache ich falsch?

13.02.2009, 09:12

uwe-b

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Auf der ersten kann der Punkt garnicht liegen, da die Ebenen parallel sind und nicht identisch.

Hier noch eine Adresse, wie man Abstände berechnet.
--> http://sites.inka.de/picasso/Cappel/abstand.html

13.02.2009, 09:51

riwe

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RE: Abstandsberechnung zweier Ebenen
die HNF ist schon der richtige ansatz,
jetzt setzt du, da die ebenen parallel sind, einfach O ein:
$\begin{eqnarray*} d_1(O,E_1)=-\frac{6}{\sqrt{14}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d_2(O,E_2)=-\frac{20}{\sqrt{14}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d(E_1,E_2)=|d_1-d_2|=\sqrt{14} \end{eqnarray*}$

so einfach smile

skizze machen hilft immer

edit: du kannst natürlich auch den von dir gewählten oder jeden anderen punkt nehmen, mit dem selben ergebnis Augenzwinkern

15.02.2009, 13:29

Dalice66

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RE: Abstandsberechnung zweier Ebenen
Hi riwe,
kann ich bei parallel verlaufenden Ebenen, immer die Formel

$\begin{eqnarray*} d(E_1,E_2)=|d_1-d_2| \end{eqnarray*}$

nehmen?

Wie sieht es bei nicht parallel verlaufenden Ebenen aus, da muss ich doch bestimmte Punkte auf ihr nehmen und jeden Punkt einzeln ausrechnen, oder?

Sonst, danke für die Hilfe...

Wink

15.02.2009, 17:51

mYthos

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Hast du dir mal überlegt, wie der Abstand zweier Ebenen aussieht, wenn sie NICHT parallel verlaufen?

mY+

15.02.2009, 17:55

riwe

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RE: Abstandsberechnung zweier Ebenen

Zitat:

Original von Dalice66
Hi riwe,
kann ich bei parallel verlaufenden Ebenen, immer die Formel

$\begin{eqnarray*} d(E_1,E_2)=|d_1-d_2| \end{eqnarray*}$

nehmen?

Wie sieht es bei nicht parallel verlaufenden Ebenen aus, da muss ich doch bestimmte Punkte auf ihr nehmen und jeden Punkt einzeln ausrechnen, oder?

Sonst, danke für die Hilfe...

Wink

zur 1. frage: Freude

zur 2.: denke darüber nach, was mythos geschrieben hat.
anregung: wenn 2 (nicht identische) geraden in der ebene nicht parallel liegen, was tun sie dann verwirrt

17.02.2009, 16:47

Dalice66

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Tja, wie ist das....
Der Abstand verändert sich demnach stetig, je nachdem welchen Punkt ich mir von einer Ebenen zur nächsten aussuche. Irgendwann ist es dann auch so, dass die Ebenen sich schneiden.

17.02.2009, 16:55

riwe

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Zitat:

Original von Dalice66
Tja, wie ist das....
Der Abstand verändert sich demnach stetig, je nachdem welchen Punkt ich mir von einer Ebenen zur nächsten aussuche. Irgendwann ist es dann auch so, dass die Ebenen sich schneiden.

wenn du deine 2, fr4age meinst: ja, daher ist ihr "abstand" d = 0

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