rekursiv definierte Zahlenfolge (Monotonie, Beschränktheit)

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stereo Auf diesen Beitrag antworten »
rekursiv definierte Zahlenfolge (Monotonie, Beschränktheit)
Hallo, folgende Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die rekursiv definierte Zahlenfolge mit



für jeden festen Startwert streng, monoton wachsend, aber nicht nach oben beschränkt ist.

Zur Monotonie:

Mein 1. Ansatz war:

- jedoch gilt dass nur für

Daher:



Damit Wäre gezeigt dass für jeden Startwert die Folge streng monoton wächst.

Beschränktheit:

Trivialer Weise wird die Folge von dem Startwert nach unter beschränkt.

Angenommen es gibt eine obere Schranke, dann gilt für ein beliebiges :



Dies ist gleichbedeutend mit der Aussage



Das ist ein Widerspruch zum Monotonieverhalten, deswegen ist die Folge nicht nach oben beschränkt.


Habe ich bei der Aufgabe richtig und (vorallem smile ) korrekt argumentiert? Danke für eure Hilfe
Zizou66 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, die Argumentation ist nicht richtig.
Es ist hinreichend für die Konvergenz einer Folge, dass sie beschränkt und monoton ist, allerdings folgt allein aus der Monotonie nicht die Konvergenz. Hierzu gibt es eine Menge Gegenbeispiele.

Zum Beispiel

.

Vielleicht könnte man für die Beschränktheit betrachten, dann fällt die Wurzel weg...
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von stereo

Und was ist für ? Da ist diese Schlussfolgerung falsch. Außerdem heißt noch lange nicht, dass die Folge wirklich monoton steigt. Es könnte dann trotzdem noch gelten und die Folge könnte sich im folgenden total chaotisch verhalten.

Zitat:
Original von stereo
Dies ist gleichbedeutend mit der Aussage


Das ist falsch. Was willst du denn durch den Pfeil ausdrücken? Soll das Konvergenz für bedeuten? Wenn ja, dann muss auch wirklich gegen unendlich gehen und man müsste den Grenzwert hinschreiben. Man kann so wirklich argumentieren, aber so wie du es getan hast, stimmt es ganz sicher nicht.

Im Übrigen könnte man dein letztes Argument einfach auf jede monotone Folge anwenden, auch auf beschränkte und konvergente. Dir ist hoffentlich klar, dass dann ziemlich viel Murks dabei rauskäme?!
stereo Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die schnellen Antworten.

Also mit der Monotonie stimmt schon. Ich wollte es ja auch eigentlich allgemein hier reinstellen.

Es gibt ja nur 2 Arten Monotonie nachzuweißen, das sind ja die 2 Arten die ich aufgeschrieben habe (hoffe da sind wir uns einig smile )

Für strenge Monotonie muss gelten:



Und ich sehe grad nicht warum dass für nicht stimmt.

Sei a_n < 0 dann sagt die Ungleichung:

Positiver könnte die Ungleichung ja gar nichtmehr sein.

Meine Argumentation im 2. Teil liegt ja nicht nur in der Monotonie.

Ich verwende hier das Cauchy Kriterium, dh es gibt ein und es existiert ein N mit , sodass gilt:





Bis hierhin sind wir uns doch einig?
Jetzt behaupte ich wenn diese Ungleichung erfüllt sein soll, dann muss doch der Grenzwert von sein für .

Und hier muss ich doch meinen Widerspruch finden, aber wie mach ich das?
Himbeer-Toni Auf diesen Beitrag antworten »

Quadrier Deine Rekursionsgleichung mal...

Folgende Ungleichung (die natürlich zu beweisen ist) sollte alles erschlagen:

AD Auf diesen Beitrag antworten »

@Himbeer-Toni

Stimmt nicht für . Augenzwinkern


Ok, du meinst sowas wie die unmittelbar erkennbare explizite Darstellung , woraus immerhin für alle folgt.
 
 
Himbeer-Toni Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
@Himbeer-Toni

Stimmt nicht für . Augenzwinkern



kiste Auf diesen Beitrag antworten »

? Hammer
stereo Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also ich hab jetzt die Zahlenfolge in Abhängigkeit von aufgestellt.









Ist somit die Frage für die Beschränkheit geklärt?

Und nochmal die Frage, warum kann ich die Monotonie nicht so beweisen:

Zitat:
Original von stereo

Für strenge Monotonie muss gelten:



Und ich sehe grad nicht warum dass für nicht stimmt.

Sei a_n < 0 dann sagt die Ungleichung:

Positiver könnte die Ungleichung ja gar nichtmehr sein.



Und @ MSS

Du hattest gesagt man kann mit dem - Kriterium argumentieren, nur nicht so wie ich es gemacht habe, kannst du mir bitte zeigen wie ich dort richtig argumentiere?
Horst & Werner Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kiste
? Hammer


???
stereo Auf diesen Beitrag antworten »

Liebe Mathematiker, stimmt denn jetzt mein Beweis dass die Folge nicht beschränkt ist?

Und kann mir einer zeigen wo mein Denkfehler mit der Monotonie ist, warum ich das nicht so einfach beweisen kann?

lg smile
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst das so beweisen, vorher hast du nur noch etwas anderes hingeschrieben gehabt:

Zitat:
Original von stereo

Und da steht , was für negative , z.B. eindeutig nicht stimmt.

Dein Argument für die Beschränktheit ist korrekt, wenn du vorher die explizite Darstellung begründest (z.B. durch eine vollständige Induktion).
stereo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Du kannst das so beweisen, vorher hast du nur noch etwas anderes hingeschrieben gehabt:

Zitat:
Original von stereo

Und da steht , was für negative , z.B. eindeutig nicht stimmt.



Oh mann.... smile

Inwiefern gilt es die explizite Darstellung zu begründen?








Muss ich nochmehr Zwischenschritte aufschreiben um es verständlicher zu machen?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, wenn man es genau machen will, dann müsste man es schon mit vollständiger Induktion beweisen. Im ersten Semester ist sowas auch durchaus noch angebracht, in höheren kann man sich das dann sicher sparen.

Des Weiteren sollte man zumindest eine ganz kurze Bemerkung abgeben, warum und nicht gilt.
stereo Auf diesen Beitrag antworten »

IA: n=1



IV:



IS:


Hier stockt es grad verwirrt



Ich glaub ich bin auf dem Holzweg.

Die Wurzel ist positiv, da ich ja von ausgehe.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Setz doch in einfach deine Induktionsvoraussetzung ein.
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