rekursiv definierte Zahlenfolge (Monotonie, Beschränktheit) |
13.02.2009, 16:44 | stereo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
rekursiv definierte Zahlenfolge (Monotonie, Beschränktheit) Zeigen Sie, dass die rekursiv definierte Zahlenfolge mit für jeden festen Startwert streng, monoton wachsend, aber nicht nach oben beschränkt ist. Zur Monotonie: Mein 1. Ansatz war: - jedoch gilt dass nur für Daher: Damit Wäre gezeigt dass für jeden Startwert die Folge streng monoton wächst. Beschränktheit: Trivialer Weise wird die Folge von dem Startwert nach unter beschränkt. Angenommen es gibt eine obere Schranke, dann gilt für ein beliebiges : Dies ist gleichbedeutend mit der Aussage Das ist ein Widerspruch zum Monotonieverhalten, deswegen ist die Folge nicht nach oben beschränkt. Habe ich bei der Aufgabe richtig und (vorallem ) korrekt argumentiert? Danke für eure Hilfe |
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13.02.2009, 16:53 | Zizou66 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, die Argumentation ist nicht richtig. Es ist hinreichend für die Konvergenz einer Folge, dass sie beschränkt und monoton ist, allerdings folgt allein aus der Monotonie nicht die Konvergenz. Hierzu gibt es eine Menge Gegenbeispiele. Zum Beispiel . Vielleicht könnte man für die Beschränktheit betrachten, dann fällt die Wurzel weg... |
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13.02.2009, 17:00 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und was ist für ? Da ist diese Schlussfolgerung falsch. Außerdem heißt noch lange nicht, dass die Folge wirklich monoton steigt. Es könnte dann trotzdem noch gelten und die Folge könnte sich im folgenden total chaotisch verhalten.
Das ist falsch. Was willst du denn durch den Pfeil ausdrücken? Soll das Konvergenz für bedeuten? Wenn ja, dann muss auch wirklich gegen unendlich gehen und man müsste den Grenzwert hinschreiben. Man kann so wirklich argumentieren, aber so wie du es getan hast, stimmt es ganz sicher nicht. Im Übrigen könnte man dein letztes Argument einfach auf jede monotone Folge anwenden, auch auf beschränkte und konvergente. Dir ist hoffentlich klar, dass dann ziemlich viel Murks dabei rauskäme?! |
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13.02.2009, 17:21 | stereo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke für die schnellen Antworten. Also mit der Monotonie stimmt schon. Ich wollte es ja auch eigentlich allgemein hier reinstellen. Es gibt ja nur 2 Arten Monotonie nachzuweißen, das sind ja die 2 Arten die ich aufgeschrieben habe (hoffe da sind wir uns einig ) Für strenge Monotonie muss gelten: Und ich sehe grad nicht warum dass für nicht stimmt. Sei a_n < 0 dann sagt die Ungleichung: Positiver könnte die Ungleichung ja gar nichtmehr sein. Meine Argumentation im 2. Teil liegt ja nicht nur in der Monotonie. Ich verwende hier das Cauchy Kriterium, dh es gibt ein und es existiert ein N mit , sodass gilt: Bis hierhin sind wir uns doch einig? Jetzt behaupte ich wenn diese Ungleichung erfüllt sein soll, dann muss doch der Grenzwert von sein für . Und hier muss ich doch meinen Widerspruch finden, aber wie mach ich das? |
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13.02.2009, 17:34 | Himbeer-Toni | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Quadrier Deine Rekursionsgleichung mal... Folgende Ungleichung (die natürlich zu beweisen ist) sollte alles erschlagen: |
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13.02.2009, 21:44 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Himbeer-Toni Stimmt nicht für . Ok, du meinst sowas wie die unmittelbar erkennbare explizite Darstellung , woraus immerhin für alle folgt. |
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14.02.2009, 12:26 | Himbeer-Toni | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
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14.02.2009, 12:46 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
? |
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14.02.2009, 13:45 | stereo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok, also ich hab jetzt die Zahlenfolge in Abhängigkeit von aufgestellt. Ist somit die Frage für die Beschränkheit geklärt? Und nochmal die Frage, warum kann ich die Monotonie nicht so beweisen:
Und @ MSS Du hattest gesagt man kann mit dem - Kriterium argumentieren, nur nicht so wie ich es gemacht habe, kannst du mir bitte zeigen wie ich dort richtig argumentiere? |
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14.02.2009, 21:03 | Horst & Werner | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
??? |
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15.02.2009, 12:33 | stereo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Liebe Mathematiker, stimmt denn jetzt mein Beweis dass die Folge nicht beschränkt ist? Und kann mir einer zeigen wo mein Denkfehler mit der Monotonie ist, warum ich das nicht so einfach beweisen kann? lg |
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15.02.2009, 19:00 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du kannst das so beweisen, vorher hast du nur noch etwas anderes hingeschrieben gehabt:
Und da steht , was für negative , z.B. eindeutig nicht stimmt. Dein Argument für die Beschränktheit ist korrekt, wenn du vorher die explizite Darstellung begründest (z.B. durch eine vollständige Induktion). |
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15.02.2009, 19:45 | stereo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Oh mann.... Inwiefern gilt es die explizite Darstellung zu begründen? Muss ich nochmehr Zwischenschritte aufschreiben um es verständlicher zu machen? |
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15.02.2009, 20:27 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja, wenn man es genau machen will, dann müsste man es schon mit vollständiger Induktion beweisen. Im ersten Semester ist sowas auch durchaus noch angebracht, in höheren kann man sich das dann sicher sparen. Des Weiteren sollte man zumindest eine ganz kurze Bemerkung abgeben, warum und nicht gilt. |
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15.02.2009, 20:38 | stereo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
IA: n=1 IV: IS: Hier stockt es grad Ich glaub ich bin auf dem Holzweg. Die Wurzel ist positiv, da ich ja von ausgehe. |
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15.02.2009, 21:04 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Setz doch in einfach deine Induktionsvoraussetzung ein. |
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