logistisches Wachstum

13.02.2009, 22:52

tigerbine

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logistisches Wachstum

Zitat:

Ein Wachstum heißt logistisch mit der Schranke S, wenn sich der Bestand B(t) nach, $\begin{eqnarray*} t\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ Zeitschritten im nächsten Zeitschritt um

$\begin{eqnarray*} k \cdot B(t) \cdot [S -B(t)] \end{eqnarray*}$

ändert, wenn also die Änderungsrate zum Produkt aus Bestand und Sättungsmanko proportional ist.

1. Wenn ich nun nicht B(t) und und B(t+1) kenne, sondern z.B. B(2) und B(5), wie kann ich denn dann k ausrechnen? S sei dabei bekannt.

2. Hier poste ich nun mal eine komplette Aufgabe. Ich verstehe den Text leider nicht, also was da eigentlich zu berechnen ist.

Zitat:

Eine Fichte ist 10 Jahre nach der Pflanzung etwa 8 Meter hoch. nach weiteren 10 Jahren etwa 13 m. Fichten werden im Durchschnitt etwa 35 Meter hoch.

a) Welche durchschnittliche Höhe ergibt sich daraus für einen 50 Jahre alten Fichtenwald, wenn man logisitisches Wachstum annimmt.

b) Veranschauliche das Wachstum bis zum alter von 100 Jahren in einem Schaubild.

Soll man hier nun in t == 10 Jahre Einheiten rechnen? Oder kann man aus den Angaben (siehe Frage oben) auch k für t in Jahren bestimmen? Das Schulbuch sagt zu dem Thema nicht mehr als im obigen Kasten und ich finde es mehr als seltsam. Ein lustiger Zusatz noch

Der Name logistisches Wachstum stammt von dem Belgier Verhulst. Es nicht bekannt, was er sich dabei gedacht hat ROFL

ROFL

edit:
habe gerade mal ins Wiki geschaut. Differentialgleichungen, Integrale geschweige denn Ableitungen sind dieser Jahrgangstufe noch unbekannt.

13.02.2009, 23:54

Nerto

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Also ich denke das $\begin{eqnarray*} t = 1 \end{eqnarray*}$ gleich 10 Jahren sein soll dann kann man nämlich einfach ausrechnen
edit:
$\begin{eqnarray*} B(t+1) = B(t) \cdot k \cdot(S-B(t)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 13m = 8 \cdot k \cdot (35m-8m)) \end{eqnarray*}$

14.02.2009, 00:02

tigerbine

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Danke für deine Meinung. Wink

Wink

Weiß jemand, ob es möglich ist, k auch zu berechnen, wenn man nicht benachbarte Funktionswerte kennt? (Unabhängig ob die Schüler das nun auch können würden. Reines Interesse meinerseits.)

14.02.2009, 12:14

mYthos

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Prinzipiell ist es möglich, die Parameter des logistischen Wachstums aus beliebig vorgegebenen Messdaten zu berechnen. Um die Auflösung der Differentialgleichung kommst du naturgemäß nicht herum, denn du brauchst ja die Funktionsgleichung.

Üblicherweise wird man diese im Grundunterricht nicht unbedingt herleiten müssen. Wir kennen die Gleichung als

$\begin{eqnarray*} B(t) = \frac{S}{1 + be^{-Skt}} \ \ k > 0 \end{eqnarray*}$

Im gegenständlichen Beispiel setzen wir also für S = 35 (Grenzwert) und nehmen die Zeit t in Jahren; in Zehnerschritten rechnen kann man durchaus, wenn man als Einheit eben t = 10 J nimmt, aber es ist nicht notwendig, denn oft sind andere Zeiten gegeben, welche nicht so "rund" sind.

Aus

B(10) = 8
B(20) = 13

ermitteln wir b und k. Beachte, dass B(0) bei dieser Art des Wachstums nie Null ist! [ $\begin{eqnarray*} B(0) = \frac{S}{1 + b} \end{eqnarray*}$ ]

Ich muss jetzt leider weg, Werte u. Graph der Funktion folgen später!

mY+

14.02.2009, 12:36

tigerbine

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mYthos,

schon mal herzlichen Dank. Ich kümmere mich derweil im weitere Aufgaben der Schülerin. (Beschänktes Wachstum) Finde es schon ein starkes Stück, dass das den Kindern so hingeknallt wird, ohne Erklärung der Hintergründe. Kein Wunder, dass die es dann nicht verstehen.

Bis später! Wink

Wink

14.02.2009, 13:53

Gualtiero

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RE: logistisches Wachstum
@tigerbine
Könnte es sein, dass $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ einfach ein Erfahrungswert in der Forstwirtschaft ist? Ich kenne zwar diese Formel nicht, aber ich kann mir vorstellen, dass jede Baumart ihr eigenes $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ hat und dieses auch noch von geographischen und meteorologischen Komponenten abhängig ist. D.h. also, eine Lärche in Salzburg hat ein anderes $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ als eine Fichte im Fichtelgebirge.

Im Vermessungswesen gibt es auch eine Formel, die die Beugung des Lichts entlang der gekrümmten Erdoberfläche berücksichtigt; und da kommt der sogenannte Refraktionskoeffizient $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ vor, der allgemein (zumindest in Österreich) mit 0.13 angenommen wird.

Allerdings sollte dann in der Angabe des Rechenbeispiels das $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ für die Fichte angegeben sein, ist es aber nicht. Also wieder nix?!?

Die Formel von Mythos kenne ich auch nicht, so dass ich nicht weiß, wie sie mit meiner Überlegung in Zusammenhang steht.

Gruß
Gualtiero

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14.02.2009, 14:10

tigerbine

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RE: logistisches Wachstum
Du nimmst die Aufgabe zu ernst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Alles was die Kinder haben ist der erste Kasten den ich gepostet habe. Ich persönlich finde das Kapitel falsch im Schulbuch, vor allem wenn die Kinder es SICH SELBST beibringen sollen.

But stay tuned! Warten wir ab, was mYthos noch sagt!

Güße nach Österreich Wink

Wink

14.02.2009, 14:11

riwe

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RE: logistisches Wachstum
Eine hübsche Lösung dazu
Edit (mY+): Link ungültig.

14.02.2009, 14:28

tigerbine

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RE: logistisches Wachstum
Danke! Wink

Wink

Die Schülerkonforme Lösung soll dann wohl sein:

$\begin{eqnarray*} B(1)=8,B(2)=13 \end{eqnarray*}$

Damit ergibt sich

$\begin{eqnarray*} 13 = 8 + k \cdot 8 \cdot (35-8) \Rightarrow k \approx 0.023 \end{eqnarray*}$

Nun müssen die eben B(3), B(4) ausrechnen, um an B(5) zu kommen. Warum sie es dann noch durchschnittlich nennen... Naja...

14.02.2009, 16:22

mYthos

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Sehen wir mal, wie das mit der Funktionsgleichung gehen könnte.

@Gualtiero
Mit der Forstwirtschaft hat das k in der logistischen Wachstumsfunktion wenig zu tun, denke ich mal. k ist einfach der Wachstumskoeffizient bzw. die Wachstumskonstante. Man muss sich eben einmal der Mühe unterziehen, die Differentialgleichung zu lösen, wenn Zweifel an der Funktionsgleichung bestehen sollten.

Kennzeichnend für den Ansatz der Differentialgleichung der logistischen Wachstumsfunktion ist, dass die Bestandsänderung proportional zu zwei Größen, nämlich zum momentanen Bestand B(t) und dem Sättigungsmanko S - B(t) gesetzt wird. Ihre Lösung liefert dann die bereits angegebene Funktion des logistischen Wachstums.

Zur endgültigen Lösung der Aufgabe ist es nun auch nicht weiter schwer:

$\begin{eqnarray*} 8 = \frac{35}{1+be^{-350k}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 13 = \frac{35}{1+be^{-700k}} \end{eqnarray*}$
-----------------------------------------

$\begin{eqnarray*} 8be^{-350k} = 27 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 13be^{-700k} = 22 \end{eqnarray*}$

-----------------------------------------

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b = \frac{9477}{1408} = 6,731 \ \text{ und } \ k = \frac{1}{350} \ln \frac{351}{176} = 1,972292 \cdot 10^{-3} \end{eqnarray*}$

Die Funktionsgleichung: $\begin{eqnarray*} B(t) = \frac{35}{1 + 6,731e^{-0,06903t}} \ \ \text{t in Jahren} \end{eqnarray*}$

Damit können wir nun den Baumbestand bzw. die Baumhöhe zu jedem beliebigen Zeitpunkt ermitteln, u.a.

$\begin{eqnarray*} B(50) = 28,85 \end{eqnarray*}$
____________________________________________________________________

mY+

14.02.2009, 16:36

tigerbine

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Danke Dir!

14.02.2009, 19:33

mYthos

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Soll noch der Auflösungsweg für die Differentialgleichung angegeben werden?

mY+

14.02.2009, 20:10

tigerbine

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Gerne. just to please me. Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.02.2009, 21:24

mYthos

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Gut. Wir gehen von der DiffGl. w.o.a. aus:

$\begin{eqnarray*} B'(t) = k \cdot B(t) \cdot (S - B(t)) \end{eqnarray*}$

Zur Erinnerung, diese folgt aus der Annahme, dass die momentane Bestandsänderung B'(t) (d.i. die Wachstumsgeschwindigkeit) proportional zu zwei Größen, nämlich zum momentanen Bestand B(t) und dem Sättigungsmanko S - B(t) gesetzt wird. k ist die zugehörige Proportionalitätskonstante.

Die Differentialgleichung laute also - kürzer mit y statt B(t) geschrieben - und statt t -> x:

$\begin{eqnarray*} y' = k \cdot y \cdot (S - y) \end{eqnarray*}$

Trennung der Variablen:

$\begin{eqnarray*} (1) \ \ \frac{\dd y}{y(S-y)} = k \dd x \end{eqnarray*}$

Integration beidseits, das linke Integral wird über die Summe zweier Partialbrüche berechnet:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{y(S-y)} = \frac{A}{y} + \frac{B}{S-y} \ \to \ A = B = \frac{1}{S} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{y(S-y)} = \frac{1}{S}(\frac{1}{y} + \frac{1}{S-y}) \end{eqnarray*}$
--------------------------------------------------------------------

Integration der Gleichung (1):

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{S}(\ln y - \ln (S-y)) = kx + C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ln \frac{y}{S-y} = Skx + SC \end{eqnarray*}$

Entlog.:

$\begin{eqnarray*} \frac{y}{S-y} = C_1 e^{Skx} \ \text{mit} \ C_1 = e^{SC} \end{eqnarray*}$
--------------------------------------------------------------------

y freistellen, dividieren durch $\begin{eqnarray*} C_1e^{Skx} \end{eqnarray*}$ , setze $\begin{eqnarray*} b = \frac{1}{C_1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = C_1Se^{Skx} - C_1ye^{Skx} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(1 + C_1e^{Skx}) = C_1Se^{Skx} \ | \ : C_1e^{Skx} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(\frac{1}{C_1}e^{-Skx} + 1) = S \ \text{mit} \ b = \frac{1}{C_1} \ \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = \frac{S}{1 + b e^{-Skx}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \to t, \ y \to B(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B(t) = \frac{S}{1 + b e^{-Skt}} \end{eqnarray*}$
=================

Schönen Abend noch!

mY+

14.02.2009, 21:30

tigerbine

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Danke, dir auch einen schönen Abend.

15.02.2009, 10:52

Gualtiero

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Danke, tigerbine und Mythos, habe da mitgerechnet und was gelernt dabei.

Gruß
Gualtiero

08.03.2012, 13:59

DeniseL

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Hilfe wie bist du von :
$\begin{eqnarray*} 8be^{-350k} = 27 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 13be^{-700k} = 22 \end{eqnarray*}$

auf die werte für b und k gekommen ? :O
kannst du die schritte nochmal genauer hinschreiben :S
wäre seeeeeeeehr hilfreich !

09.03.2012, 09:45

mYthos

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Die beiden Gleichungen wurden links und rechts durcheinander dividiert. Dabei kürzt sich das b heraus.
Dann mittels Potenzgesetze vereinfachen und die Exponentialgleichung logarithmisch lösen.

mY+

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