Fibonacci und eine große Frage |
| 15.02.2009, 21:36 | physikgrundkurs | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Fibonacci und eine große Frage mir geht es um die Herleitung der expliziten Bildungsformel der Fibonacci-Zahlen von Moivre-Binet |
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| 15.02.2009, 21:42 | physikgrundkurs | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Sorry, Frage gelöscht: Also ich möchte diese Formel nicht mit Diagonalmatrixen oder Induktionen oder i-welchen Eigenwertproblemen lösen. Ich habe jetzt auch eine Herleitung mit einem Trick m.H. wikipedias geschafft. Und zwar habe ich einfach eine neue geometrische Reihe aufgestellt und zwar: x^n=x^n-1 + x^n-2 die gilt ja auch nur für n größer/gleich 2 Aber meine Frage, wie kommt man darauf eine Expotentialfunktion als Ansatz zu wählen, sprich, wie weiß man, dass auch die spätere Formel ^n in ireng-einer Form enthalten wird? Zudem frage ich mich, warum ich mir davor klar machen sollte, dass man in etwa von einer Fibonacci-Zahl zur darauffolgenden kommt, wenn man die Vorangehende mit einem konstanten Faktor multipliziert. Warum muss mir das von Anfang an klar sein? |
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| 15.02.2009, 21:45 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Herleitung im Sinne von didaktischen Herangehen zum Finden dieser Formel - oder doch einfach nur der Nachweis, dass diese Formel tatsächlich die Fibonacci-Folge beschreibt? Das sind nämlich zwei Paar Schuhe: Beim zweiten genügt ein einfacher Induktionsbeweis, beim ersten läuft es auf umfassende Betrachtungen zu linearen Differenzengleichungen mit konstantenKoeffizienten hinaus. EDIT: Ok, hatte deinen zweiten Beitrag noch nicht gelesen. Also die erste Variante. 
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| 17.02.2009, 21:21 | physikgrundkurs | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Genau um die das erste geht es mir. Ich möchte die Formel nicht beweisen, sondern herleiten und dass ohne Induktion ohne Eigenwertproblem ohne Diagonalmatrix, sondern mit der Ansatz der Exponentialfunktion. Nur ist mir nicht schlüßig, warum man die als Ansatz nimmt.(???) Wie man dann damit rechnet ist wieder klar, das ergibt sich hinterher mit Korregturfaktoren und schließlich dem Lösen eines linearen Gleichungssystems.... |
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| 17.02.2009, 21:27 | physikgrundkurs | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Und was ich mich auch frage ist, warum ich den Ansatz überhaupt wählen darf, denn die Fibonacci-Folge ist ja keine strenge geometrische Reihe...oder reicht es, wenn der Qoutient zweier aufeinanderfolgender Glieder gegen einen Wert, hier 1,618... strebt? |
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| 17.02.2009, 21:30 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wenn du solche Forderungen
stellst, und damit so ziemlich alle folgerichtigen Erklärungsversuche raubst, wie soll man dann noch schlüssig (!) diesen Ansatz
rechtfertigen? 
Warum stellst du denn diese Forderungen? |
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| 17.02.2009, 21:36 | physikgrundkurs | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, ich weiß, ich würde auch lieber den bequemen Weg gehen, aber ich gehe in NRW auf ein Gymmie und da wird geometrische Analysis erst in 12.2 durchgenommen, ich bin jetzt aber noch in 12.1 und ich verstehe es nur mit dem Ansatz der exponentionalfunktion... Deshalb frage ich auch gar nicht nach Hilfe beim Rechnen mit deser, sondern "einfach" nur, wie man auf diesen Ansatz kommt... |
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| 17.02.2009, 21:39 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das ist keine einfache Frage, wenn du kategorisch die sinnvollen Erklärungsversuche von vornherein ausschließt.
Was ist denn so schlimm an der Herleitung mit mit Anfangswert und dann expliziter Darstellung und anschließend Diagonalisierung, pipapo... ? Entweder interessiert es dich wirklich, wieso dieser Ansatz sinnvoll ist, dann musst du eben auch etwas Arbeit investieren. Oder du schluckst eben ohne Erklärung die Sinnhaftigkeit des Ansatzes mit der Exponentialfunktion. Beides haben zu wollen, bequem und leicht, ist schlecht möglich. |
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| 17.02.2009, 21:43 | physikgrundkurs | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Weil ich davon wirklich, ich schwäre keine Ahnung von habe, ich kenne Matrixen bisher nur von Gleichungssytemen, indem man die Faktoren von Variabeln "weglassen" konnte, Eigenwertprobleme oder gar Diagonalmatrixen habe ich noch nie gehört und werde das auch erst in einem Halbjahr wissen... 
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| 17.02.2009, 21:50 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ehrlich, Physiker verwenden an allen Ecken und Enden Ansätze, ohne die geringste Erklärung zu verschwenden, warum sie diese Ansätze wählen - frei nach dem Motto "der Erfolg gibt mir nachträglich Recht". Aber du hast Bauchschmerzen, beim Exponentialansatz für die Fibonacci-Folge genauso vorzugehen? Das ist ja dann eher eine mathematische Denkweise.
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| 17.02.2009, 21:57 | physikgrundkurs | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also ich habe davon Wind bekommen, dass der Ansatz sinnvoll sei, weil der Quotient zweier Fibonacci-Zahlen zwar nicht identisch ist, aber gegen einen Wert strebt. Also kann man die drauffolgende Zahl fast genau mit einem konstanten Faktor, der die vorangehende multipliziert, berechnen. Dies sei auch eine Eigenheit von Exponentialfunktionen. Und dann gings los: f(n)=x^n f(n)=f(n-1)+f(n-2) bzw. x^n=x^(n-1) + x^(n-2) .... Den Rest verstehe ich ja..man hat dann x bestimmt m.H. der p/q-Formel und dann einen Korrekturfaktor davor gesetzt, um die gleichen Startwerte wie bei Fibonacci zu bekommen,...das ist mir ja ersichtlich... "...du eben auch etwas Arbeit investieren." Was soll ich denn noch für eine Leistung bringen? Mir geht es ja nur um den allerersten Ansatz, mehr nicht... |
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| 17.02.2009, 22:01 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Es geht natürlich auch anders zu erklären, aber das gefällt dir wahrscheinlich genausowenig: Man betrachtet die Menge aller reellen Folgen , dann ist speziell . Dieses ist ein Vektorraum über . Jetzt kann man die Theorie der Vektorräume über dieses Beispiel herrollen lassen: Man sieht unmittelbar, dass von Dimension 2 ist. Jetzt muss man nur noch zwei linear unabhängige Folgen finden, die bilden dann eine Basis dieses Vektorraums. D.h., man kann dann durch Linearkombinationen dieser beiden Folgen sämtliche Elemente aus darstellen, insbesondere also auch . Und eine solche Basis findet man eben durch den Exponentialansatz . |
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| 17.02.2009, 22:10 | physikgrundkurs | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Danke erstmal, ich melde mich wieder...vlt. verstehe ich das ja so
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| 25.02.2009, 18:22 | physikgrundkurs | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo, da melde ich mich wieder, also dein Ansatz ist mir leider zu schwer, sorry. Ich habe jetzt gelesen, dass man diesen Ansatz wählen dürfte, weil die Fibonacci-Folge zumindest bei den ersten Gliedern fast wie eine Expotentialfunktion wächst. Reicht das wohl, wenn ich dass mit einem Diagramm begründe, in dem ich zum Beispiel noch die Funktion 2^x zum Vergleich einzeichne? Sonst bettle ich wirklich um eine nicht hochmathematische Erklrung für den Ansatz, ich habe schon sämtliche Seiten zurecht gesucht, aber immer steht nur, dass man die Exponentialfunktion nimmt, NST und dann Korrektirfaktoren... Hier, ihr seht ich bemühe mich wirklich: zaik.uni-koeln.de/AFS/teachings/ws0607/DM/Kap2.pdf math.uni-augsburg.de/prof/opt/mitarbeiter/hachenberger/publikationen/Buch/MatheInfo/Ergaenzungen/Fibonacci_Folge.pdf math.uni-hamburg.de/home/werner/GruMiFiboSoSe06.pdf mathe-seiten.de/fibonacci.pdf thorstenreinecke.de/downloads/fibonacci.pdf .... "Die erste Idee zur Lösung besteht in der Beobachtung, dass derartige Folgen meist exponentiell wachsen. Das legt den ersten Ansatz an = »n mit einem von Null verschiedenen Lambda nahe. " Das sagt wikipedia...aber begründet das auch nicht... Und ich weiß nicht, ob so ein Satz als Erklärung in meiner Facharbeit wirklich angemessen ist: "6 Geschlossene Form der Fibonacci-Reihe Wie in 1.1 bereits erwähnt, bilden Fibonacci-Folgen gewissermaßen einen Gegenpol zu den Zweierpotenzen. Die Zweierpotenzen lassen sich durch b0 := 1; bn := bn−1 + bn−1 = 2bn−1 definieren und bilden als geschlossene Form den Term bn = 2n. Ist es auf ähnliche Weise möglich, die Fibonacci-Folge in eine geschlossene Form zu pressen? – Nun ja, manche Erkenntnis fällt vom Himmel, und manchmal muß man dazu etwas nachhelfen. Schießen wir also etwas Silberjodid in die Wolken und warten ab, was herunterkommt..." Ich weiß ja dann auch, dass x^2-x-1=0 als chrakteristisches Polynom bezeichnet wird, wenn ich denn Ansatz berechne, habe ich keine Probleme... Bitte helft mir ohne Matrixen oder Tiefe 2 oder Vektorräumen etc....vlt. reicht ja auch so eine Zeichnung wie bei mir... Vielen Dank!!!! PS: Danke an Arthur Dent, deine Antworten sind sicherlich die mathematisch richtigsten, aber mir genügt wirklich eine nicht so hochmathematische...ich nehme ja sowieso schon den nicht wirklich richtigen Weg mit Induktion oder Diagonalmatrix... |
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| 26.02.2009, 16:36 | physikgrundlurs | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ups, sorry...ich wunder mich schon, warum es keine Antworten gibt...das ist aber mein Fehler
:Mein Thread gehört ja auch nicht in "Sonstiges" von Schulmathematik, sondern Hochschulmatematik...das fällt ja unter Zahlentheorie...könntet ihr bitte (bzw. der Moderator) den Thread dahin verschieben? Danke! |
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| 26.02.2009, 16:40 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ein zweiter Grund dürfte sein, dass nur wenige zu dem Puzzlespiel bereit sind, deine durch Copy+Paste verunstalteten Formeln zu entziffern - Beispiel:
Die zweite Zeile soll wahrscheinlich heißen, die erste kann ich gar nicht entziffern. So nicht!
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| 26.02.2009, 16:49 | physikgrundkurs | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein, das ist auch nicht entscheidend... "...lassen sich durch b0 := 1; bn := bn−1 + bn−1 = 2bn−1 definieren und..." das ist nicht wichtig...sorry bitte weglassen..mir gings nur um die Sache mit dem Silberjdid, also dass man einfach so den Ansatz der Exponentialfunktion nimmt...
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| 26.02.2009, 16:52 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich kann dir nur soviel sagen: Wenn ich diese achtlos kopierten HTML-Relikte wie − sehe, dann weiß ich, wieviel Mühe sich der Autor gegeben hat: 
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| 26.02.2009, 17:01 | physikgrundkurs | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich habe das kopiert um zu zeigen, wie ich es nicht machen möchte. Deshalb sind auch die Formeln nicht wichtig, aber das habe ich auch in dem Beitrag geschrieben: "Und ich weiß nicht, ob so ein Satz als Erklärung in meiner Facharbeit wirklich angemessen ist:" Sonst denke ich schon, dass ich weitaus mehr geleistet habe als manch andere...meiner Meinung nach. Aber das tut ja auch eigentlich nichts zur Sache... |
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| 26.02.2009, 17:45 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wasch mich, wasch mich - aber mach mich nicht nass!
Von welcher Zeichnung redest du? 
"Richtig" sollte man besser nicht steigern, das ist maximalst unrichtig.
Ansonsten scheinst du zu glauben, ich stelle das absichtlich kompliziert dar - dem ist nicht so. Wenn du es logisch, in jedem Schritt folgerichtig, also ohne spezielle Ansätze und Annahmen machen willst, dann ist eben ein gewisses Ausholen nötig. Bin gespannt, ob du das irgendwann mal akzeptierst. |
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| 26.02.2009, 17:52 | physikgrundkurs | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die: "Ich habe jetzt gelesen, dass man diesen Ansatz wählen dürfte, weil die Fibonacci-Folge zumindest bei den ersten Gliedern fast wie eine Expotentialfunktion wächst. Reicht das wohl, wenn ich dass mit einem Diagramm begründe, in dem ich zum Beispiel noch die Funktion 2^x zum Vergleich einzeichne?" Ich zeichne den Graphen der Fibonacci-Zahlen und im Vergleich dazu den von f(n)=x^n..man sieht ja in etwas zumindest bei den ersten Zahlen für n, dass beide Graphen ansatzweise exponentiell wachsen... |
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| 26.02.2009, 19:18 | physikgrundkurs | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
"Ansonsten scheinst du zu glauben, ich stelle das absichtlich kompliziert dar - dem ist nicht so. Wenn du es logisch, in jedem Schritt folgerichtig, also ohne spezielle Ansätze und Annahmen machen willst, dann ist eben ein gewisses Ausholen nötig. Bin gespannt, ob du das irgendwann mal akzeptierst." Nein, werde ich nicht 
, denn es muss auch so gehe mit dem Ansatz der Expotentialfunktion gehe. Schau doch mal bitte meine Links an, die machen das alle so.Meine Frage ist ja die, wei man auf diesen Ansatz kommt. Ich hatte ja die Idee mit dem Graphen oder dem konstanten Faktor (meine ersten Beiträge). "Wenn du es logisch, in jedem Schritt folgerichtig, also ohne spezielle Ansätze und Annahmen machen willst, dann ist eben ein gewisses Ausholen nötig." Und genau das will ich nicht. Ich habe ja schon gesagt, dass ich nicht die eleganteste, sondern die "einfachste" Begründung suche... PS: Wäre sehr dankbar, wenn ihr diesen Thread in "Sonstiges" unter Hochschulmatematik verschieben könntet. Das hat hier trotz der Suche nach einer einfachen Begründung nichts mit Schulmathematik zu tun...das war mein Fehler. Danke! |
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| 26.02.2009, 19:27 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Du bist wirklich eine Marke: Dass du den Exponentialansatz ohne vorherige Begründung (jedenfalls ohne stichhaltige mathematische Begründung) nehmen kannst, habe ich doch schon vor Wochen gesagt:
oder auch gleich darauf
Damals hast du es abgelehnt, jetzt akzeptierst du es. Sehr launisch. |
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| 26.02.2009, 19:41 | physikgrundkurs | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Sorry, aber ich glaube wir kommen nicht auf einen gemeinsamen Nenner
Was sagt ihr denn jetzt zu meinen Ansätzen: "Ich hatte ja die Idee mit dem Graphen oder dem konstanten Faktor (meine ersten Beiträge." Vielleicht kannst du ja dazu was sagen, Arthur Dent? Ich wäre auf jeden Fall sehr dankbar, denn leider ist mein mathematisches Verständnis nicht so gut wie bei dir... 
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| 26.02.2009, 20:03 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das ist eine phänomenologische (d.h. aus der Auswertung der ersten paar Folgenglieder gewonnene) Erklärung dafür, dass der dominierende Teil der Folge eventuell durch einen Exponentialansatz erklärt werden könnte. Das ist doch was: nicht streng mathematisch, aber vielleicht eine ausreichend erklärte Anregung, es mit dem Exponentialansatz zu versuchen.
Allerdings erklärt es nicht, warum der "Rest" (also nach Abzug des dominierenden Anteils) auch eine Exponentalstruktur haben soll - der dann aber exponentiell fallend statt wachsend. |
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| 26.02.2009, 20:44 | physikgrundkurs | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Danke das hilft mir weiter, aber den Satz verstehe ich nicht ganz...welchen Rest meinst du? Die größer werdenden Zahlen? Was fällt da, anstatt zu wachsen? Danke und noch einen guten Abend! |
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| 26.02.2009, 20:57 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wenn du dir die letztendlich erhaltene explizite Formel des Fibonacci-Folgenglieds anschaust, weißt du, was ich meine. |
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| 26.02.2009, 21:31 | physikgrundkurs | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Du meinst also das letzte Glied, sprich: Okay, dass strebt natürlich mit größer werdenden n gegen Null. Aber das ist ja nicht schlimm, denn dafür wird ja der erste Teil immer größer: Und deswegen kann man ja auch den zweiten Teil bei großen n weglassen und einfach nur in den ersten Teil einsetzten und runden... Oder was genau meinst du?...Ich sehe nur, dass die ersten Glieder noch relativ exponentiell wachsen und dann die immer schneller und höher wächst... Aber was genau meinst du mit dem Rest? |
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| 26.02.2009, 22:03 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Genau.
Richtig, das kann man - durch das runden wird es sogar wieder exakt, da man weiß, dass eine ganze Zahl rauskommen wird.
Allerdings sind das eher Folgerungen, die man dem exakten Ergebnis entnimmt - nichts, was man von vornherein weiß und von dem man ausgehen kann. |
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| 27.02.2009, 16:18 | physikgrundkurs | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Okay, dann schließe ich daraus, dass der Vorschlag die Exponentialfunktion als Ansatz zu nehmen zwar mit dem Zeichnen der Graphen von bspw. f(x)=2^n und halt den Fibonacci-Zahlen (F(n)=F(n-1)+F(n-2)) nicht hochmathematisch begründet ist, aber es zumindest nachvollziehbar ist? Das würde mir reichen, denn ich würde dann in meiner Facharbeit als Einleitung zur Herleitung der Moivre-Formel dann zuerst mit den Graphen beginnen und dann zu dem Ansatz kommen. Ich weiß zwar, dass das nicht super mathematisch ist, aber immerhin...wenns stimmen würde.
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| 27.02.2009, 22:35 | physikgrundkurs | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
f(x)=2^n...okay man könnte ja dann auch 3^n oder 4^n etc nehmen, oder? Hauptsache man hat einen Vergleichsgraphen, oder? Oder, oder?
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| 28.02.2009, 12:10 | physikgrundkurs | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich schreibe nochmal in Latex die beiden Graphen, die ich gerne zeichenen würde, um zu sagen, dass die Fibonacci-Zahlen relativ exponentiell anwachsen: Dabei sind F(0)=0 und F(1)=1 definiert und hier noch eine Liste der jeweiligen Glieder: n-tes Glied: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 zugehörige Zahl: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 Und dann setze ich jeweils für n=0,1,2,3,4,5...ein und lasse mit Word aus dieser Datenntabelle ein Diagramm mit beiden Graphen zeichnen. Man sieht einen zumindest anfänglich gleichen typischen Verlauf... Bitte eine letzte Absegnung, ob das in Ordnung ist... Arthur Dent haate ja mal fogendes geschrieben: "Das ist doch was: nicht streng mathematisch, aber vielleicht eine ausreichend erklärte Anregung, es mit dem Exponentialansatz zu versuchen. " Wäre mein Vorschlag dafür ausreichend, um Arthurs Aussage zu kräftigen? Danke, das wäre es auch dann, wenns so weit o.ok. wäre! |
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| 01.03.2009, 12:34 | physikgrundkurs | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Danke fürs nicht verschieben des Threads in Hochschulmathematik! War das zu viel verlangt? Aber egal vergesst es! Thema ist gelaufen! Löscht alles, ich brauchs nicht mehr, viel Spaß noch und weiter so, eure Arbeitsmoral ist überwältigend! PS: Es geht nicht um Antworten, sondern einfach um das Verschieben! |
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