Textaufgabe

09.09.2006, 00:52

Tukki

Textaufgabe

Als Hausaufgabe habe ich im Mathematikunterricht sechs Textaufgaben bekommen. Diese hatten alle Unteraufgaben von a) bis d)
Bis auf zwei habe ich alle lösen können und es wäre lieb wenn ihr mir bei diesen Aufgaben auch noch helfen könntest!

Aufgabe 1:

Der Innenboden des Gateway-Arch in St. Loius lässt sich näherungsweise beschreiben (x in m) durch die Funktion f mit
$\begin{eqnarray*} f(x) = 187,5 - 1,579*10^-2x² - 1,988*10^-6x^4 \end{eqnarray*}$

Bei einer Flugveranstaltung soll ein Flugzeug mit der Flügelspannweite von 18m unter dem Bogen hindurchfliegen. Welche Maximalhöhe muss der Pilot einhalten, wenn er in vertikaler und horizontaler Richtung ein Sicherheitsabstand zum Bogen von 10m eingehalten werden muss?

Lösungshinweis aus dem Lösungsbuch:
f(9)-10 = f(u) liefert u = 25,70
25,70-9 größer gleich 10, Maximale Flughöhe f(9) - 10 = 176,21m

Wie kann ich diese aufgabe lösen? Ich versuche schon vergeblich auf die 25,70 zu kommen...
______________________________________________________________________

Aufgabe 2:

Einem Unternehmem entstehen bei x Produktionseinheiten die Gesamtkosten K(x). Diese können durch die Kostenfunktion K(x) = 0,044x³ - 2x² + 50x + 600 beschrieben werden.
Jede Produktionseinheit wird für 60€ verkauft. Die Umsatzfunktion U heißt U(x) = 60x

Berechnen sie den Preism den das Unternehmen pro Produktionseinheit verlangen muss, um verlustfrei zu arbeiten?

Lösungshinweis aus dem Lösungsbuch:
K'(x) = K(x)/x liefert x = 30,20
damit bekommst man K'(x) = 49,59€ pro Produktionseinheit

danke danke danke danke! Freude

09.09.2006, 01:47

sqrt(2)

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RE: Textaufgabe!

Zitat:

Original von Tukki
Lösungshinweis aus dem Lösungsbuch:
f(9)-10 = f(u) liefert u = 25,70
25,70-9 größer gleich 10, Maximale Flughöhe f(9) - 10 = 176,21m

Man betrachtet nur eine Hälfte des Bogens, da er symmetrisch ist. Die Höhe des Bogens, wo er x Meter von seiner Mitte entfernt ist, ist also f(x). Wenn das Flugzeug in der Mitte des Bogens durchfliegt, ragen 9 m zur Seite hinaus. Die Höhe, in der das Flugzeug genau noch durchpasst, wo der Bogen genau 9 m von seiner Mitte entfernt ist, ist also bei der Höhe f(9). Da es einen Sicherheitsabstand von 10 m nach oben einhalten muss, beträgt die Maximalhöhe, wenn man nur den Sicherheitsabstand in die Höhe berücksichtigt, f(9) - 10.

Was man nun noch überprüfen muss, ist, ob das Flugzeug dann auch den Abstand von 10 m zur Seite einhält, wenn es in der Höhe f(9) fliegt. Man rechnet also aus, wie weit der Bogen in der Höhe f(9) - 10 von seiner Höhe entfernt ist. Für diese Entfernung u muss also gelten f(9) - 10 = f(u). Es stellt sich heraus, dass u = 27,70 m, der Abstand also u - 10 = 17,70 m beträgt und damit der erforderliche Sicherheitsabstand eingehalten wird, f(u) = f(9) - 10 ist also die Maximalhöhe.

Zitat:

Original von Tukki
Wie kann ich diese aufgabe lösen? Ich versuche schon vergeblich auf die 25,70 zu kommen...

Die Biquadratische Gleichung kannst du mit der Substitution $\begin{eqnarray*} z := x^2 \end{eqnarray*}$ lösen.

09.09.2006, 10:11

Tukki

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Das habe ich verstanden, bloß wie komme ich an u?

09.09.2006, 10:39

zweiundvierzig

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Aufgabe 1)

Du setzt $\begin{eqnarray*} f(9)-10 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(u) \end{eqnarray*}$ gleich.

$\begin{eqnarray*} f(9)-10=f(u) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 187,5 - 1,579*10^{-2}*(9)^2 - 1,988*10^{-6}*(9)^4-10=187,5 - 1,579*10^{-2}u^2 - 1,988*10^{-6}u^4 \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du nach $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ mittels Substitution auflösen, wie sqrt(2) schon gesagt hat. Und verwende bitte den Formeleditor oder setze zumindest Klammern. smile

Aufgabe 2)

Es gilt gewissermaßen, den Preis an einem bestimmten Punkt herauszufinden. Darüber gibt dir die erste Ableitung Auskunft. In dem Fall ist der Punkt $\begin{eqnarray*} \frac{K(x)}{x} \end{eqnarray*}$ , da er eine Aussage über das Verhältnis der Kosten zu den Produktionseinheiten macht. Außerdem musst Du noch die Umsatzfunktion mit einbeziehen, da ja kein Verlust entstehen soll.

09.09.2006, 11:18

Tukki

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Klasse! *strahl* Aufgabe 1 habe ich sogar richtig gelöst. Ich danke euch! smile

Wie ist denn die Formel von Aufgabe 2? Also was setze ich für was ein? Danke schonmal, das ist echt klasse von euch!

09.09.2006, 11:21

zweiundvierzig

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Gerne

Wie wir festgestellt haben, soll ja ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ermittlet werden, sodass $\begin{eqnarray*} K'(x)=\frac{K(x)}{x} \end{eqnarray*}$ . Also erstmal ableiten, dann mit dem genannten Quotienten gleichsetzen und nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auflösen. Damit hast Du schonmal den Einzelpreis.

09.09.2006, 16:26

sqrt(2)

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Wenn man ein bisschen zurückrechnet:

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{rrcl} & K'(x) &=& \frac{K(x)}{x} \\ \Lra & xK'(x) - K(x) &=& 0 \\ \Lra & \frac{xK'(x) - K(x)}{x^2} &=& 0 \\ \Lra & \left(\frac{K(x)}{x}\right)' &=& 0 \end{array} \end{eqnarray*}$

Offenbar ist Frage schlecht gestellt, man sollte besser fragen, welchen Preis das Unternehmen minimal verlangen kann, um noch verlustfrei zu arbeiten. Dazu bestimmt man die Produktionsmenge, bei der die Durchschnittskosten $\begin{eqnarray*} \frac{K(x)}{x} \end{eqnarray*}$ minimal sind, und das läuft eben auf

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{rrcl} & \left(\frac{K(x)}{x}\right)' &=& 0 \\ \Lra & K'(x) &=& \frac{K(x)}{x} \end{array} \end{eqnarray*}$

hinaus.

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