Vollständige Induktion - Problem

19.02.2009, 00:36

r4vY

Vollständige Induktion - Problem

Hallo,

habe ein Problem bei folgender (eigentlich wohl eher einfachen) Aufgabe zur vollständigen Induktion:

Zu beweisen: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n (-1)^n*k^2 = (-1)^n*\frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang usw. klappt super, dann geht's los.
Als erstes habe ich nachdem n->n+1 den faktor -1 aus der Summe gezogen, dann den letzten Summanden abgespalten, um die Induktionsvoraussetzung anwenden zu können. Das ganze sieht dann folgendermaßen aus:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} (-1)^{n+1}*k^2 = -1 * \sum_{k=1}^{n+1} (-1)^{n}*k^2 = -1*(\sum_{k=1}^{n} (-1)^{n}*k^2+(-1)^{n}*(n-1)^2) \end{eqnarray*}$

Für die Summe würde ich jetzt die Induktionsvoraussetzung anwenden, nach dem Auflösen der Klammer steht dann dort:
$\begin{eqnarray*} (-1)^{n+1}*\frac{n*(n+1)}{2}+(-1)^{n+1}*(n+1)^2 \end{eqnarray*}$

Das lässt sich allerdings nicht weiterführen, da irgendwo ein Vorzeichenfehler versteckt sein muss. Der erste Bruch (n*(n+1))/2 müsste mit -1 multipliziert werden, dann käme das richtige raus.

Wo habe ich den Vorzeichenfehler gemacht?

Vielen Dank schonmal für Eure Hilfe!

Thomas

19.02.2009, 01:49

pseudo-nym

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Den Ärger mit den Vorzeichen kannst du dir sparen, indem du deine Problemstellung durch $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ teilst und dann
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$
mit Induktion beweist.

19.02.2009, 01:58

r4vY

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Zitat:

Original von pseudo-nym
Den Ärger mit den Vorzeichen kannst du dir sparen, indem du deine Problemstellung durch $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ teilst und dann
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$
mit Induktion beweist.

Danke! Dass ich nicht selber auf die Idee gekommen bin... naja, manchmal geht es im Endeffekt immer viel unkomplizierter Augenzwinkern

Nur mal nebenbei: Wie wäre denn der Lösungsweg, wenn man die -1^n stehen lässt?

19.02.2009, 03:46

pseudo-nym

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Der Fehler ist eigentlich ziemlich offensichtlich. Die Gleichung gilt einfach nicht. Möglich wäre allerdings:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k & = & \frac{n(n+1)}{2} \\ \sum_{k=1}^n k^2 & = & \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$

19.02.2009, 11:05

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Möglich wäre vor allem auch

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n (-1)^k \cdot k^2 = (-1)^n \cdot \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

Was doch ein falscher Exponent so alles anrichten kann. Augenzwinkern

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