Extremwertaufgabe

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Extremwertaufgabe
Liebe Mathefreunde

nachdem ich nun unzählige Minuten damit verbracht habe eine mögliche Lösung für meine Aufgabe zu finden, hoffe ich hier zumindest den nötigen Anstoss zu erhalten,d.h. wenn ich die Zielfunktion sowie die Nebenbedingungen habe, glaube ich damit zur Lösung der Aufgabe zu gelangen.
Folgende Aufgabe muss ich lösen.

Ein Möbelhersteller stellt zwei in ihrer Ausführung unterschiedliche Schrankmodelle her.
- Modell A hat 2 Glastüren und 3 Beleuchtungen
- Modell B hat 4 Glastüren und 5 Beleuchtungen

Der Preis für Model A beträgt 1199 Euro, für Model B 1799 Euro.

Im Lager gibt es 148 Glastüren und 194 Beleuchtungen, die auf jeden Fall verbraucht werden sollen. Für Modell B ist bereits eine Bestellung über 20 Stück eingegangen.

Formulieren Sie Zielfunktion und Nebenbedingungen. Erläutern Sie, was die verwendeten Variablen darstellen.

1. Stellen Sie die Gleichungen der Randgeraden auf und zeichnen Sie das Planungsvieleck sowie den Graphen der Zielfunktion.
2. Bestimmen Sie zeichnerisch die Kombination, für welche der Gewinn maximal wird.
3. Wie hoch ist dieser Gewinn?

Wie gesagt ich möchte keine Musterlösung, sondern die mir fehlenden Ansätze.
Besten Dank und Gruss
Lernender
Zellerli Auf diesen Beitrag antworten »

194 Beleuchtungen sollen erreicht werden durch das Bauen einer gewissen Anzahl Modell A und einer gewissen Anzahl Modell B.

148 Glastüren sollen erreicht werden durch das Bauen ...


Fallen dir dazu schon Gleichungen ein?
Lernender Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich habe ich schon diverse Varianten probiert.

Davon ausgehend, dass eine gewisse Anzahlt Glastüren und Leuchten verbraucht werden sollen, habe ich folgende Idee gehabt.

Zielfunktion:f(x,y)=148x+194y
Nebenbed. g(20)= 80x+100y , weil ja bereits 20* B bestellt wurde. Nun habe ich nach y umgestellt und erhalte y=-0,8, was wiederum in die Zielfunktion eingesetzt werden kann. Hierbei habe ich ein Problem damit,dass ich keine 1.Ableitung gemäss Lehrbuch vornehemen kann also bin ich mir über die Richtigkeit der Lösung im Unklaren.

Habe auch ein Gleichungssytem aufgestellt.

I 2x+3y=1199
II 4x+5y=1799 und für x=-299 und y=599 erhalten. Aber auch hier bin ich mir nicht sicher den richtigen Weg eingeschlagen zu haben.

Gern nehme ich einen weiteren Hinweis an.

Gruss Lernender
Zellerli Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn x und y bei dir?

Nimm von mir aus x und y (oder a und b) und nenne sie "Anzahl der produzierten Modelle A" und "Anzahl der produzierten Modelle B".

Was für eine Gleichung kannst du dann (erstmal nur die Gesamtanzahl im Lager herangezogen) aufstellen?
Lernender Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe
So...

x=Glastüren , y=Beleuchtungen, wobei ich damit wohl auf dem Holzweg bin.

Bei 148 Glastüren und 194 Beleuchtungen lassen sich insgesamt

148=Anzahl A + Anzahl B -> 24.6 Schränke herstellen.
148=2 Türen + 4 Türen

194=Anzahl A + Anzahl B ->24.25 Schränke herstellen
194= 3 Lichter + 5 Lichter

Wird es langsam warm? Eher nicht oder, denn wie sollen halbe bzw. viertel Schränke hergestellt werden.

...ist wohl nicht meine Stärke...*g*
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Na ja, es bleibt eher kalt ...

Wir haben es hier nicht mit einer Extremwertaufgabe im Sinne von Funktionsableitungen zu tun, sondern mit einer Aufgabe aus der linearen Optimierung.

Dazu müssen wir folgende Voraussetzungen festlegen bzw. Fragen beantworten:
Was soll optimiert werden? Was ist die Zielfunktion und wie sieht sie aus?
Antwort: Der Umsatz beim Verkauf der beiden Modelle A und B soll optimiert, d.h. maximal werden. Der Umsatz bestimmt auch die Zielfunktion, die sich aus den Stückzahlen der noch frei zum Verkauf gelangenden Modelle A und B (beachte, von B sind bereits 20 vergeben!) und deren Verkaufspreis zusammensetzt.

Die Freiheitsgrade in dieser Zielfunktion sind nun die Stückzahlen von A und B, daher liegt es nahe, diese mit Variablen zu bezeichnen (und nicht die Anzahl der Glastüren und Beleuchtungen).

Der letzte Punkt ist, wodurch diese Stückzahlen begrenzt werden. Wohl durch die noch zur Verfügung stehenden Glastüren und Beleuchtungen. Deren Zusammenhang liefert die Angabe der im Modell A und Modell B einzubauenden Glastüren und Beleuchtungen.

Das Planungsvieleck wird noch dadurch komplettiert, dass die Stückzahlen positiv und ganz und die Erlöse positiv sein müssen.

Ist dir jetzt von dem Holzweg heruntergeholfen?

mY+
~~~~~~~~~~~~~~

Noch ein paar Links zu ähnlichen Aufgaben hier im Board:

[Optimierung] Kleine Frage zur Aufgabe
lineare programmierung - wiw aufgabe klausur
 
 
Lernender Auf diesen Beitrag antworten »

mühsam ernährt sich das Eichhörnchen...

so langsam kommt Licht ins Dunkel.
Insgesamt muss der Umsatz maximiert werden, d.h für den Umsatz
(Zielfunktion) gilt:
a=Modell A
b=Modell B
Umax=1199a+1799b-20*b (da diese bereits verkauft bzw. verplant sind, werden diese in die noch ausstehende Maximierung nicht mehr einbezogen.

Abzüglich der 20 Schränke Modell B verbleiben im Lager nur noch 68 Türen und 94 Beleuchtungen, die auf die Schränke aufgeteilt werden müssen, um den max. Umsatz zu erhalten.

Hoffe es soweit erkannt zu haben. Für den Rest muss ich nochmal kurz grübeln.

Bis hierher schonmal vielen Dank
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lernender
...
Umax=1199a+1799b-20*b
...


Das stimmt nicht, denn Umax besteht aus den Umsätzen und 20 B machen 20*1799.- Umsatz. Also wenn schon, dann müsste es .. = 1199a + 1799(b-20) lauten.

Ich würde statt a mal x und für b-20 einfach y setzen, also die 20 bereits verkauften B mal aussen vor lassen und die Optimierungsaufgabe mit den restlichen 68 G und 94 B durchführen. Die Zielfunktion lautet demnach



Jetzt überlege mal, wieviel Glastüren in x Modellen A und y Modellen B eingebaut sind, und dies desgleichen für die Beleuchtungen und welche Anzahl beide maximal erreichen können.

mY+
Lernender Auf diesen Beitrag antworten »

versuche ich es erneut...

NB:
2x+4y=68 ergibt die Randgerade 68-2x/4=y
3x+5y=94 ergibt die Tandgerade 94-3x/5=y

Berührpunkt mittels gleichsetzen errechnen:
x=18, y=8

Einsetzten in die NB geht jeweils auf.
Wertepaar in die Zielfunktion einsetzen und man erhält den max. Umsatz
ohne 20*B: 35974
mit 20*B: 35974+35980 = 71954

Rückrechung geht auf. Hoffe es nun endlich gelöst zu haben. Mathe war noch nie meine Stärke. Danke für deine guten Hinweise. Hast mir sehr geholfen.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

smile , stimmt!

Sage besser Schnittpunkt statt Berührungspunkt, aber er stimmt. Durch diesen ist die Zielfunktion parallel zu verschieben.

Und so sieht das aus:





Das Planungsvieleck besteht aus der positiven x- und y-Achse und den beiden bereits von dir genannten Geraden x + 2y = 34 und 3x + 5y = 94.

Von Bedeutung ist, dass die durch den Schnittpunkt verschobene Parallele zur Zielfunktion ausserhalb des Viereckes verläuft, d.h. das Viereck nicht durchsetzt!

mY+
Lerneder Auf diesen Beitrag antworten »

soweit hat ja letztendlich alles geklappt, doch wie bekomme ich die graphische Darstellung der Funktionen in ein Word Dokument?

Bei dem Versuch von copy / paste ändert sich die graphische Darstellung derart, dass sie einfach einen schwarzen Hintergrund hat und nichts mehr bis auf die Graphen selber erkennbar ist. Habe sämtliche Ideen ausgeschöpft.

Geht das überhaupt?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Womit hast du die Graphen erstellt und unter welchem Dateityp abgespeichert? Mit welchem bilddarstellenden Programm siehst du dir dir Bilder vorher an?

Erstelle die Bilder als JPG-, GIF- oder PNG (Portable Netw. Graph.) - Dateien.
Word kann problemlos mit diesen Dateien umgehen. Im geöffneten Word-Dokument wähle die Menüpunkte

- Einfügen
- Grafik
- Aus Datei

Die Bilddatei solltest du vorher ordnungsgemäß abgespeichert haben.

Ein schwarzer Hintergrund lässt darauf schließen, dass schon beim Erstellen oder Export ein Fehler passiert sein muss.

mY+
Lernender Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo nochmal.

Die Integration der Funktionsgraphen hat doch noch geklappt.Somit war das also ein hartes Stück Arbeit mit dem hoffentlich nötigen Lerneffekt.

Danke nochmal.
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