Ebene und Gerade parallel?

09.09.2006, 19:10

Maggi89

Ebene und Gerade parallel?

Hey Leute, hab mal eine Frage!

Wir wiederholen gerade die analytische Geometrie aus der 12. Klasse und ich steh gerade auf dem Schlauch!

In Aufgabe 1a sollten wir eine Geradengleichung aufstellen die durch Punkt A (2/3/2) und B(3/1/4) geht.

Wenn ich mich nicht täusche gibt es mehrere Möglichkeiten für eine Geradengleichung!

z.B.:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich in 1b eine Ebene die durch den P1(0/2/11),P2(-1/5/7) und P3(6/-1/5) geht. Das ist richtig, weil mein Teilergebnis stimmt!

$\begin{eqnarray*} E= \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 11 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt sollen wir beweisen, dass die beiden Funktionen zueinander parallel sind und den Abstand berechnen. Ich glaube, dass man sich einfach die Richtungsvektoren angucken muss, damit man sagen kann ob sie parallel sind oder nicht. Aber in meinem Fall sind die einfach nicht parallel.

Was nun?

Danke im Voraus!

09.09.2006, 19:13

marci_

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ja die spannvektoren der ebene müssen zum richtungsvektor der gerade parallel sein, also linear abhängig!

oder mache dir doch eine skizze, da siehst du dann, dass der normalenvektor der ebene mal den richtungsvektor der geraden skalar multipliziert null ergeben muss!

$\begin{eqnarray*} \vec {n} * \vec {v}= 0 \end{eqnarray*}$

09.09.2006, 19:39

Maggi89

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Kannst du mir vielleicht auch erklären, warum der Normalvektor der Ebene mal das Skalarprodukt des Richtungsvektors der Geraden gleich Null ergeben`?

LG Maggi

09.09.2006, 20:01

therisen

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Zitat:

Original von marci_
ja die spannvektoren der ebene müssen zum richtungsvektor der gerade parallel sein, also linear abhängig!

$\begin{eqnarray*} g: \quad \vec{x} &= \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\ E: \quad \vec{x} &= \mu \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \tau \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Gerade $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und die Ebene $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ sind parallel, aber $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig.

Zitat:

Kannst du mir vielleicht auch erklären, warum der Normalvektor der Ebene mal das Skalarprodukt des Richtungsvektors der Geraden gleich Null ergeben`?

Weil die Gerade und die Ebene parallel sind, steht der Normalenvektor der Ebene auf dem Richtungsvektor der Geraden senkrecht.

Gruß, therisen

09.09.2006, 20:07

Maggi89

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Dankeschön, jetzt hab ich es verstanden Mit Zunge

LG Maggi

10.09.2006, 23:49

marci_

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@therisen:

aber wenn doch die gerade parallel zur ebene ist, dann müssen doch auch die beiden spannvektoren der ebene zum richtungsvektor der geraden parallel sein? unglücklich

die spannvektoren sind natürlich beide linear unabhängig, aber wenn ich doch zum beispiel eine ebene habe und eine dazu parallele gerade erstellen muss, dann kann ich doch als richtungsvekotr einfach einen spannvektor nehmen!?

10.09.2006, 23:57

Steve_FL

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nein. Denn du kannst eine Ebene durch beliebig viele unterschiedliche Vektoren aufspannen, solange beide in der Ebene liegen und nicht parallel sind.

Nimm zum Beispiel die x,y-Ebene.
Du kannst diese aufspannen mit den Vektoren (0, 1, 0) und (1, 0, 0)
aber auch mit (1, 1, 0) und (1, 0, 0) oder mit (1, -1, 0) und (1, 1, 0).

Das sind jetzt erst 3 Paare, die alle die gleiche Ebene aufspannen. Deshalb kanns also sein, dass du ein Paar von Vektoren hast, die eine Ebene aufspannen aber nicht parallel zur geraden sind

11.09.2006, 00:56

therisen

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Zitat:

Original von Steve_FL
Deshalb kanns also sein, dass du ein Paar von Vektoren hast, die eine Ebene aufspannen aber nicht parallel zur geraden sind

Richtig. Ein Beispiel dafür habe ich in meinem Beitrag mit angegeben.

11.09.2006, 11:02

riwe

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Zitat:

Original von marci_
ja die spannvektoren der ebene müssen zum richtungsvektor der gerade parallel sein, also linear abhängig!

so wäre es wohl richtig/genau(er):

die spannvektoren der ebene und der richtungsvektor der gerade sind also linear abhängig!

definition:
die vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a_1} ,\vec{a_2},..., \vec{a_k} \end{eqnarray*}$ heißen linear unabhängig, wenn die gleichung
$\begin{eqnarray*} r_1\vec{a_1}+r_2\vec{a_2}+...r_k \vec{a_k} =\vec{o} \end{eqnarray*}$
nur für $\begin{eqnarray*} r_1= r_2=....=r_k=0 \end{eqnarray*}$ erfüllt ist, sonst heißen sie linear abhängig.

da die 3 vektoren in einer ebene liegen sollen - nämlich in der zu E parallelen ebene durch den aufpunkt der geraden, sind sie naturgemäß in R3 immer linear abhängig.
im konkreten fall (z.b.):
$\begin{eqnarray*} 5\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} +3\begin{pmatrix} -1\\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} +1\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}= \vec{o} \end{eqnarray*}$

oder im beispiel von therisen nehme man {1/0/-1} für die $\begin{eqnarray*} r_i \end{eqnarray*}$

und zum ende: jeder vektor der ebene läßt sich aus dem/einem Paar (groß geschrieben, um verwechslungen zu vermeiden)von linear unabhängigen spannvektoren dieser ebene darstellen, das ist ja der sinn der definition, denkt verwirrt

werner

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