Untergruppen und Teilmengen

26.02.2009, 19:50

eierkopf1

Untergruppen und Teilmengen

Hallo!

Folgendes soll ich zeigen:
Sei $\begin{eqnarray*} U_1 \leq G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_2 \leq G \end{eqnarray*}$ , dann gilt:

$\begin{eqnarray*} U_1 \cup U_2 \leq G \Leftrightarrow U_1 \subseteq U_2 \text{oder} U_2 \subseteq U_1 \end{eqnarray*}$

Wie zeige ich beide Richtungen? Hat jemand einen Tipp?

27.02.2009, 00:03

Reksilat

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RE: Untergruppen und Teilmengen
Hallo eierkopf1,

Zumindest die Richtung " $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ " sollte offensichtlich sein, es ist deprimierend, wenn selbst solche Schritte nicht selbst erkannt werden. Eigene Ansätze sind auch nicht erkennbar - Du bist hier lange genug dabei, um zu wissen, dass da etwas mehr von Dir kommen muss.

Gruß,
ein enttäuschter Reksilat.

27.02.2009, 08:26

eierkopf1

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RE: Untergruppen und Teilmengen
Danke für die Antwort!

Diese Richtung ist klar: " $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ ":
Wenn $\begin{eqnarray*} U_1 \subseteq U_2 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} U_1 \cup U_2 \leq G \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} U_2 \leq G \end{eqnarray*}$ .
Analoges gilt für $\begin{eqnarray*} U_2 \subseteq U_1 \end{eqnarray*}$ .

Diese Richtung:
" $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ ":

Assoziativität wird geerbt.
Die Abgeschlossenheit ist nicht gegeben, wenn nicht gilt: $\begin{eqnarray*} U_1 \subseteq U_2 \text{oder} U_2 \subseteq U_1 \end{eqnarray*}$

Aber wie zeige ich, dass das $\begin{eqnarray*} b \in U_1 \cup U_2 \Rightarrow a \circ b^{-1} \in U_1 \cup U_2 \end{eqnarray*}$ nur gilt, wenn das gilt: $\begin{eqnarray*} U_1 \subseteq U_2 \text{oder} U_2 \subseteq U_1 \end{eqnarray*}$ verwirrt

27.02.2009, 10:22

Reksilat

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RE: Untergruppen und Teilmengen
Wir nehmen jetzt an, dass $\begin{eqnarray*} U_1\cup U_2 \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ sei, dass aber weder $\begin{eqnarray*} U_1\subseteq U_2 \end{eqnarray*}$ noch $\begin{eqnarray*} U_2\subseteq U_1 \end{eqnarray*}$ gelte. Also mit anderen Worten: es gibt ein $\begin{eqnarray*} x\in U_1\backslash U_2 \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} y\in U_2\backslash U_1 \end{eqnarray*}$ . Führe das zum Widerspruch.

27.02.2009, 15:14

eierkopf1

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RE: Untergruppen und Teilmengen
Danke für die Antwort!

Reicht das so:
Deine Voraussetzungen und daraus folgt: Es existiert min. ein $\begin{eqnarray*} x \circ y \not\in U_1 \cup U_2 \end{eqnarray*}$ .

EDIT: Latex verbessert

27.02.2009, 15:20

Reksilat

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RE: Untergruppen und Teilmengen
Um zu sehen, ob Deine Antwort ausreicht, müsste ich auch die komplette Argumentation sehen; ich bin genauso wenig eine Hellseher, wie es der Korrektor sein wird. Wichtig ist es vor allem, dass Du verstanden hast, wie es funktioniert - wenn das der Fall ist, sollten Rückfragen eigentlich gar nicht mehr nötig sein, denn dann weißt Du ja, was alles dazugehört.

code:
1:	\not\in

27.02.2009, 15:39

eierkopf1

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RE: Untergruppen und Teilmengen
So würde ich argumentieren:
Weil $\begin{eqnarray*} x \in U_1\setminus U_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \in U_2 \setminus U_1 \end{eqnarray*}$ ist, kann $\begin{eqnarray*} x \circ y \end{eqnarray*}$ nicht in $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ liegen, da sonst auch $\begin{eqnarray*} y \in U_1 \end{eqnarray*}$ liegen würden. Andererseits kann $\begin{eqnarray*} x \circ y \end{eqnarray*}$ auch nicht in $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ liegen, da sonst $\begin{eqnarray*} x \in U_2 \end{eqnarray*}$ . Daher ist $\begin{eqnarray*} U_1 \cup U_2 \end{eqnarray*}$ mit deinen genannten Voraussetzungen keine Gruppe.

Danke für die Hilfe! Gott

Es ist mir klar gewesen, nur wie ich das richtig zeige bzw. argumentiere, ist meist mein Problem. traurig

27.02.2009, 18:20

Reksilat

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RE: Untergruppen und Teilmengen
Sieht doch gut aus und mit den Argumentationen wird das normalerweise auch nach und nach besser.

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Untergruppen und Teilmengen

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