Aufgabe zu Surjektivität, Bijektivität

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congo.hoango Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe zu Surjektivität, Bijektivität
Sei eine surjektive, lineare Abbildung.
Weiterhin sei die Menge aller Unterräume von und die Menge aller
Unterräume von , die Kern enthalten.
Zeigen Sie, dass dann , eine bijektive Abbildung ist.

---------------

Wie ist hierzu der Ansatz? Habe hier schonmal zu dem Thema eine Aufgabe reingestellt, aber habe mit diesem Thema immernoch so meine Probleme...

Danke schonmal!
Fritz
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!
Du hast eine Abbildung, deren Bijektivität du zeigen sollst. Dafür musst du zeigen, dass sie injektiv und surjektiv ist. Was das bedeutet, weißt du ja sicher, oder?
congo.hoango Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das weiß ich...hab nur keine Ahnung wie ich es nachweise.

Injektivität:

Surjektivität:
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst es in dem Fall aber auf die Funktion anwenden. Nimm doch einfach mal an, für zwei Unterräume von , die den Kern von enthalten, gelte . Was bedeutet das definitionsgemäß? Versuche dann und nachzuweisen.
congo.hoango Auf diesen Beitrag antworten »

Also erstmal sorry, dass ich die Frage doppelt gestellt hab...hatte ich total vergessen.

Zitat:
Du musst es in dem Fall aber auf die Funktion anwenden. Nimm doch einfach mal an, für zwei Unterräume von , die den Kern von enthalten, gelte . Was bedeutet das definitionsgemäß? Versuche dann und nachzuweisen.


Ist bei dir das gleiche wie ?

Und zu kann man doch eigentlich nicht viel sagen, da ja surjektiv ist...also das einzige was mir einfallen würde, da ja U und U' Teilmenge von sind ist, dass beide ein Urbild in haben.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ist die Abbildung, die du oben definiert hast: .

Zitat:
Original von congo.hoango
also das einzige was mir einfallen würde, da ja U und U' Teilmenge von sind ist, dass beide ein Urbild in haben.

Ein Urbild in ? Wer soll jetzt was für ein Urbild aus besitzen und wie? ist doch der Bildraum von und nicht der Urbildraum.
 
 
congo.hoango Auf diesen Beitrag antworten »

Ups, du hast recht...mit dem Urbild hab ich mich vertan.

Aber was kann man denn mit einer surjektiven Abbildung aus schließen? Doch nur, dass es jeweils ein Bild in gibt, oder?

Und kann man darauf schließen, dass dieses Bild der Nullvektor ist? Bin mir unsicher wegen: " die Menge aller
Unterräume von , die Kern enthalten."
Also dieses enthalten....das heißt doch, dass der Unterraum aus mehr als nur dem Kern besteht oder? Und das würde ja heißen, dass dessen Vektoren nicht nur auf den Nullvektor abgebildet werden....ich bin verwirrt smile
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von congo.hoango
Aber was kann man denn mit einer surjektiven Abbildung aus schließen? Doch nur, dass es jeweils ein Bild in gibt, oder?

Wer oder was soll ein Bild haben/sein? Sorry, aber du musst dich schon etwas konkreter ausdrücken, damit ich verstehe, was du meinst.

Zitat:
Original von congo.hoango
Also dieses enthalten....das heißt doch, dass der Unterraum aus mehr als nur dem Kern besteht oder? Und das würde ja heißen, dass dessen Vektoren nicht nur auf den Nullvektor abgebildet werden....

Was daran verwirrt dich jetzt? Die Untervektorräume und enthalten den Kern, aber sie können auch noch andere Elemente enthalten, die dann durch nicht auf Null abgebildet werden, das ist richtig.
congo.hoango Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Wer oder was soll ein Bild haben/sein?


Na hat ein Bild in und hat auch ein Bild in .

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Was daran verwirrt dich jetzt? Die Untervektorräume und enthalten den Kern, aber sie können auch noch andere Elemente enthalten, die dann durch nicht auf Null abgebildet werden, das ist richtig.


Ok, aber was bedeutet denn dann definitionsgemäß, bzw. was bringt es mir?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

ist eine Teilmenge von . Was genau du mit "Bild" meinst, verstehe ich nicht. Einfach die Elemente von ? Da liegt z.B. mindestens der Nullvektor drin. Sonst ist es einfach die Menge aller Bilder von Elementen aus unter der linearen Abbildung .

Nun dazu, was das aussagt: bedeutet, dass die Untervektorräume und genau die gleichen Bildmengen haben, d.h. .

Zu zeigen ist , dafür solltest du die beiden Inklusionen zeigen, also z.B. (die andere analog): Sei , dann liegt in . Was bedeutet das definitionsgemäß?
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