Berechnungen an einer Polynomfunktion [War: Hilfe!]

02.03.2009, 22:43

MissSixtieh

Auf diesen Beitrag antworten »

Berechnungen an einer Polynomfunktion [War: Hilfe!]

Huhu

Wink

habe (mal wieder ^^) ein problem mit einer aufgabe, die da lautet:

Gegeben ist die Funktion f mit Graph K durch

$\begin{eqnarray*} f(x) = 1/18 (x-3)² (x+3)², x E R \end{eqnarray*}$

a) Untersuchen Sie K auf Symmetrie und geben Sie den Wertebereich von f an. Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte von K mit den Koordinatenachsen sowie die Extrem- und Wendepunkte für K. Zeichnen Sie K für |x| < 4.
(Teilergebnis: W (Wurzel 3 | 2) ist ein Wendepunkt von K.)

b) Die Gerade g mit der Gleichung y = 2 schneidet K in vier Punkten.
Bestimmen Sie diese Schnittpunkte von g und k.
Die y-Achse, die Gerade g und der Graph K begrenzen im ersten Feld zwei Flächen. Zeigen Sie, dass diese Flächen denselben Flächeninhalt haben.

c) Durch den Punkt P (u | f(u)) mit 0 < u < 3 werden die Parallelen zu den Koordinatenachsen gezeichnet. Diese Parallelen durch P begrenzen mit den Koordinachtenachten im ersten Feld ein Rechteck.
Bestimmen Sie u so, dass der Flächeninhalt A(u) dieses Rechtecks extremal wird. Untersuchen Sie dann die Art des Extremums.

d) Der Graph der Funktion h mit:

(siehe Dateianhang)

stellt das Profil eines Abhangs mit anschließendem ebenem Gelände dar.
Von welchen Punkten des Abhangs ist der Punt T (3|0) sichtbar, in dem der Abhang beginnt?
(Hinweis: Arbeiten Sie mit einer Tangente durch T.)

Sooo also das wäre die Aufgabe.
a) und b) konnte ich noch komplett ohne probleme lösen.
Nur bei c) und d) verlassen mich meine Fähigkeiten verwirrt

verwirrt

Also ganz ehrlich? Da krieg ich noch nichtmal einen ansatz hin ..

wäre echt lieb wenn mir jemand helfen könnte smile

smile

Viele liebe Grüße,
MissSixtieh Wink

Wink

Edit (mY+): Bitte KEINE Hilferufe im Titel! Die Überschrift soll aussagekräftig sein und das Thema möglichst gut kennzeichnen!

03.03.2009, 01:12

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

c)

Das Rechteck hat einen Flächeninhalt von $\begin{eqnarray*} A = u \cdot f(u) \end{eqnarray*}$ . Forme dazu f(x) etwas um zu

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{18}(x^2-9)^2 \end{eqnarray*}$

dann ist

$\begin{eqnarray*} A(u) = \frac{1}{18}u(u^2-9)^2 \end{eqnarray*}$

Diese Funktion ist nun einer gängigen Extremwertberechnung zu unterziehen.
Hinweis: Nicht ausquadrieren, sondern die Ableitungen nach der Produkt- und Kettenregel vollziehen, damit Faktoren ausgeklammert werden können. Beachte auch, dass $\begin{eqnarray*} u \neq 3 \end{eqnarray*}$ ist, dadurch kann durch einzelne Faktoren gekürzt werden!

d)

Bezeichne den gesuchten Punkt mit B(x1; y1). Er ist Berührungspunkt einer Tangente, die durch T geht. Die Tangentengleichung in diesem Punkt an die Kurve lautet

$\begin{eqnarray*} y - y_1 = f \ '(x_1) \cdot (x - x_1) \ \text{ Punktrichtungsform} \end{eqnarray*}$

Da die Tangente durch den Punkt T(3; 0) gehen muss, setzen wir nun für x = 3 und y = 0 und erhalten (wir setzen auch noch y1 = f(x1))

$\begin{eqnarray*} - f(x_1) = f \ '(x_1) \cdot (3 - x_1) \end{eqnarray*}$

Aus der letzten Gleichung wird x1 ermittelt. Beachte auch hier, dass $\begin{eqnarray*} 0 \leq x_1 \leq 3 \end{eqnarray*}$ gelten muss. Durch den Faktor (x1 - 3) kann deshalb ebenfalls gekürzt werden. Wie dies aussieht, zeigt die Grafik. B ist jener Punkt der Kurve, von dem aus der Punkt T zum ersten Mal sichtbar ist; die Tangente in B geht genau durch T.

[attach]9937[/attach]

mY+

03.03.2009, 13:48

MissSixtieh

Auf diesen Beitrag antworten »

hey mYthos

ersteinmal vielen dank für deine schnelle antwort smile

smile

ich hab nur leider ein problem mit dieser antwort ..
und zwar ist sie nicht allzu verständlich für mich aufgrund dieser vielen fehlermeldungen :/
vielleicht könntest du diese evtl. beheben? :/
wäre echt lieb smile

smile

Viele liebe Grüße,
MissSixtieh

03.03.2009, 22:31

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt

verwirrt

WELCHE Fehlermeldungen soll ICH beheben? Kannst du das bitte mal näher erklären?
Wenn du den Text meinst, .. EDIT: War ein Fehler beim Server, NICHT bei mir!

mY+

03.03.2009, 22:58

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

@ mYthos: Heute vormittag wurden die Formeln nicht korrekt angezeigt, das meinte MissSixtieh. Siehe hier.

04.03.2009, 01:27

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh, danke. Ich hatte mir heute vormittag ausnahmsweise mal frei genommen, deswegen nichts davon bemerkt.

Die liebe MissSixtieh hat aber seitdem eh nicht mehr hereingeschaut Augenzwinkern

Augenzwinkern

mY+

Anzeige

12.01.2010, 18:24

Jean-Luc

Auf diesen Beitrag antworten »

Problem bei Extremwertaufgabe
Hallo.
Ich muss mich im Moment in der Schule auch mit dieser Aufgabe rumschlagen...

a) und b) waren kein Problem, war reine Wiederholung.
c) Verstehe ich auch noch soweit...

$\begin{eqnarray*} A(u)=\frac{1}{18} \cdot u \cdot (u^2-9)^2 \end{eqnarray*}$

muss ich ableiten und bekomme

$\begin{eqnarray*} A'(u)=\frac{5}{18} u^4 - 3u^2 +4.5 \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste man ja eigentlich erstmal die notwendige Bedingung aufstellen, also $\begin{eqnarray*} A'(u)=0 \end{eqnarray*}$

Aber irgendwie klappt das Auflösen bei mir nicht so, es kommt auf jeden Fall nicht $\begin{eqnarray*} 0<u<3 \end{eqnarray*}$ heraus.

Wäre nett wenn mir jemand erklären könnte, wie man das berechnet.

d) Ist für mich mit der Erklärung soweit nachvollziehbar, jedoch funktioniert bei mir die Ausrechnung von $\begin{eqnarray*} xa_{1} \end{eqnarray*}$ nicht.

Wäre super lieb, wenn mir jemand helfen würde, bin grad echt am verzweifeln...

12.01.2010, 18:41

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast A(u) auch ungeschickt abgeleitet. Ausmultiplizieren sieht auf den ersten Blick zwar angenehmer aus, aber wenn man mit Produkt- und Kettenregel daran geht, wird es danach leichter. Das hatte auch mythos oben schon erwähnt. Versuch's mal.

$\begin{eqnarray*} A(u)=\frac{1}{18} u \cdot (u^2-9)^2 \end{eqnarray*}$

12.01.2010, 21:59

Jean-Luc

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich hab

$\begin{eqnarray*} A(u)=\frac{1}{18} u \cdot (u^2-9)^2 \end{eqnarray*}$

und dann ist die erste Abl.
$\begin{eqnarray*} A'(u)=\frac{1}{18} (4 \cdot (u^2-9)u^2+(u^2-9)^2) \end{eqnarray*}$

oder nicht?
Aber das sagt mir jetzt auch nicht viel mehr... weil ich 3 ja nicht nehmen kann als lösung.

Oder sollte mir das was sagen?

12.01.2010, 22:05

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Berechnungen an einer Polynomfunktion [War: Hilfe!]
Versuch' doch mal, möglichst viel auszuklammern. Dann vereinfacht sich das, was in der Klammer übrig bleibt, sehr.

12.01.2010, 22:09

Jean-Luc

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Berechnungen an einer Polynomfunktion [War: Hilfe!]
Ok, vielleicht eher so?!

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{18} \cdot (u^2-9)^2 + \frac{2}{9} u \cdot (u^2-9) \end{eqnarray*}$

12.01.2010, 22:18

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Berechnungen an einer Polynomfunktion [War: Hilfe!]
Da hast du doch jetzt nicht ausgeklammert. Überdies stimmt es so auch gar nicht mehr. Ich mache mal einen Schritt für dich und klammere einfach ein (u²-9) aus:

$\begin{eqnarray*} A'(u) = \frac{1}{18} (4 \cdot (u^2-9)u^2+(u^2-9)^2) = \frac{(u^2-9)}{18} ( 4u^2 + (u^2-9) ) \end{eqnarray*}$

Kommst du nun weiter?

12.01.2010, 22:30

Jean-Luc

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Berechnungen an einer Polynomfunktion [War: Hilfe!]
$\begin{eqnarray*} A'(u) = \frac{1}{18} (4 \cdot (u^2-9)u^2+(u^2-9)^2) = \frac{(u^2-9)}{18} ( 4u^2 + (u^2-9) ) \end{eqnarray*}$
Ok, bis dahin bringt mir das ja immer noch nicht viel... d.h. ich muss weiter vereinfachen/ausklammern etc?

$\begin{eqnarray*} \frac{(u^2-9)}{18} ( 5u^2 - 9) \end{eqnarray*}$

Und dann hätten wir beisielsweise für u mal was anders raus als 3^^

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1.8} =1.34 \end{eqnarray*}$

Könnte das stimmen?

12.01.2010, 22:41

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Berechnungen an einer Polynomfunktion [War: Hilfe!]
Genau, wobei das ja nun schon gerundet ist. Ich habe mir die Aufgabe an sich jetzt nicht so haargenau durchgelesen, aber vielleicht kann man ja erstmal den exakten Wert noch weiter mitschleppen:

$\begin{eqnarray*} x_0 = \sqrt{\frac{9}{5}} \end{eqnarray*}$

12.01.2010, 22:46

Jean-Luc

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Berechnungen an einer Polynomfunktion [War: Hilfe!]
Also wäre $\begin{eqnarray*} u= \sqrt{1.8} \end{eqnarray*}$
Nun berechne ich $\begin{eqnarray*} f(u)=2.88 \end{eqnarray*}$

Und da ja $\begin{eqnarray*} A=u\cdot f(u) \end{eqnarray*}$ gegeben ist noch mulitplizieren und der max Flächeninhalt beträgt gerundet 3,86.

12.01.2010, 23:44

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Berechnungen an einer Polynomfunktion [War: Hilfe!]
Sieht okay aus. Kleine Kontrolle anhand einer Skizze:

13.01.2010, 06:56

Jean-Luc

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Berechnungen an einer Polynomfunktion [War: Hilfe!]
Okay, vielen Dank schon mal für die Hilfe.

Leider komme ich bei d) immer noch nicht weiter.
mYthos hat es ja schon mal versucht zu erklären, aber irgendwie blick ich da noch nicht wirklich durch wie man nun $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ ermittelt.

Wir haben nun also:
$\begin{eqnarray*} - f(x_1) = f \ '(x_1) \cdot (3 - x_1) \end{eqnarray*}$

Und jetzt muss ich einsetzen und $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ berechnen?

Aber was genau ist jetzt $\begin{eqnarray*} f(x_1) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} f'(x_1) \end{eqnarray*}$ ? Ist damit $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ gemeint? Wohl eher nicht oder? Wie genau rechne ich das aus bzw. was setzte ich ein?

13.01.2010, 14:18

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Gemeint ist, dass bei f(3) in die Funktion f(x) eben der x-Wert x = 3 einzusetzen ist und analog gilt das auch für die Ableitung f '(x).

mY+

13.01.2010, 15:44

Jean-Luc

Auf diesen Beitrag antworten »

Entweder bin ich ein bisschen dumm was Mathe angeht oder ich hab grad nen Brett vorm Kopf

Wenn ich hier 3 einsetzte:

$\begin{eqnarray*} - f(x_1) = f \ '(x_1) \cdot (3 - x_1) \end{eqnarray*}$

erhalte ich doch

$\begin{eqnarray*} - f(3) = f \ '(3) \cdot (3 - x_1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=0 \cdot (3-x_1) \end{eqnarray*}$

Das kann aber doch irgendwie nicht stimmen?!

13.01.2010, 23:15

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Wer sagt, dass du für x1 den Wert 3 einsetzen sollst? Vielmehr ist x1 unbekannt und gerade dessen Wert sollst du ja berechnen (der ist sicher nicht 3, sondern liegt dort, wo die Tangente durch den Punkt (0;3) geht!

Daher muss für f(x1) der allgemeine Funktionsterm in x1 gesetzt werden und für f '(x1) die Ableitungsfunktion, ebenfalls in x1. Daraus entsteht eine Gleichung in x1, die nach x1 aufulösen ist.

mY+

14.01.2010, 19:58

Jean-Luc

Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du vielleicht mal das einsetzten, was du erklärt hast?

Weil ich verstehe das irgendwie immer noch nicht... vielleicht verstehe ich das ja, wenn ich sehe was ich machen müsste.

Weil wenn ich nicht für $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ einsetzte, was mach ich denn dann?

Das einzige was ich habe ist ja $\begin{eqnarray*} f(x) =\frac{1}{18} (x-3)² (x+3)² = \frac{1}{18}(x^2-9)^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{2}{9} x (x-3) (x+3) = \frac{2}{9}(x^3-9x) \end{eqnarray*}$

Naja. Hoffe, dass mir nochmal irgendjemand helfen kann. Wäre wirklich super.

15.01.2010, 12:32

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Berechnungen an einer Polynomfunktion [War: Hilfe!]

Zitat:

Original von Jean-Luc
...
Wir haben nun also:
$\begin{eqnarray*} - f(x_1) = f \ '(x_1) \cdot (3 - x_1) \end{eqnarray*}$
...

Also! Warum setzt du nun nicht die entsprechenden gegebenen Terme für f(x) und f '(x) ein und löst das Ganze nach x1 auf?

$\begin{eqnarray*} -\frac 1 {18} (x_1 + 3)^2 (x_1 - 3)^2 = \frac 2 9 x_1 (x_1 + 3)(x_1 - 3) \cdot (3 - x_1) \end{eqnarray*}$

NICHT ausmultiplizieren, sondern gleiche Faktoren ausklammern!!
____________________

Hinweis: Die (seinerzeit von mir und jetzt von Mulder) erstellten Graphen bezeichnen die Flächenfunktion und entsprechen NICHT der gegebenen Funktiion f(x). Insofern sind sie unrichtig. Das hätte dich jedoch nicht daran sollen, die Gleichung richtig anzusetzen und zu lösen.
Die Aufgabe d) hat mit der Flächenfunktion nichts mehr zu tun und betrifft also nur eine Diskussion von f(x). Deshalb wird hier nochmals der richtige Graph gezeigt. Darin siehst du auch, wie die Tangente aussieht und wie groß das x1 nun wirklich sein muss ...

[attach]12973[/attach]

mY+

15.01.2010, 22:26

Jean-Luc

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Berechnungen an einer Polynomfunktion [War: Hilfe!]
Ok vielen vielen Dank smile

smile

Tut mir leid wenn ich was genervt hab...

So meine Berechnungen ergaben jetzt
$\begin{eqnarray*} B(1/3\frac{5}{9}) \end{eqnarray*}$

Kommt mit der Skizze ja auch ganz gut hin oder?

Gruß.
Jean-Luc

15.01.2010, 22:33

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so ist es! smile

smile

Es ist wichtig, dass du das nunmehr kapiert hast, denn das ist ja der Sinn dieses Boards hier. Deswegen sollst du so lange fragen, bis es für dich geklärt ist, das nervt keineswegs!
Leider war am Anfang der falsche Graph gezeichnet, möglicherweise war das auch etwas verwirrend, obwohl allerdings der Rechenweg eindeutig vorgegeben war.

Gr
mY+

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »