Körperaxiome

08.03.2009, 10:09

peter09

Körperaxiome

Es sei K eine endliche Menge mit zwei Verknüpfungen "+" und " $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ " , für die alle Körperaxiome bis auf das eine gelten. Das Axiom der Existenz des Inversen bzgl Multiplikation wurde durch folgendes ersetzt: $\begin{eqnarray*} \forall a, b \in \mathbb K \setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} ab \in \mathbb K \setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ . Zu zeigen ist: K ist ein Körper.

Mein Ansatz:
wenn die " $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ " - Verknüpfung bijektiv ist, dann bin ich fertig, da es gilt: $\begin{eqnarray*} 1 \in K \setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \forall a \in K \setminus \{0\} \exists a' \in K \setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} aa'=1 \end{eqnarray*}$ .

Die Surjektivität nachzuweisen ist auch nicht schwer. Ich hänge grad bei der Injektivität. Ich verstehe dabei auch nicht ganz, warum es sich ausgerechnet um eine endliche Menge handelt.

Kann mir jemand helfen? Danke, peter.

08.03.2009, 11:58

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie hast du denn die Surjektivität nachgewiesen? Dafür darfst du ja keine Inversen benutzen, weil deren Existenz ja gerade nicht bekannt ist. Ich glaube kaum, dass der direkte Nachweis der Surjektivität einfach ist.

Zitat:

Original von peter09
wenn die " $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ " - Verknüpfung bijektiv ist

Und was du damit meinst, solltest du auch erstmal präzisieren. Und dann kommt auch die Endlichkeit ins Spiel: Die Injektivität ist nämlich viel einfach direkt nachzuweisen als die Surjektivität. Und eine injektive Abbildung einer endlichen Menge in sich selbst ist auch immer sofort surjektiv, also sogar bijektiv. Und dann ist man fertig.

08.03.2009, 12:49

peter09

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Surjektivität würde ich jetzt so zeigen. Da $\begin{eqnarray*} 1 \in K \setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \forall a \in K \setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} 1 \cdot a = a \end{eqnarray*}$ , somit ist jedes $\begin{eqnarray*} a \in K \setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ erreichbar.

Kann ich jetzt von der Surjektivität auf Injektivität so schließen: (durch Widerspruch) gäbe es Elemente $\begin{eqnarray*} b, b' \in K \setminus \{0\}, b \not = b' \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} ab = ab' \end{eqnarray*}$ , wäre die " $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ " - Abbildung nicht surjektiv, da mindestens ein Element nicht erreicht werden kann. Geht das so?

08.03.2009, 22:10

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Bevor du weiter mit Surjektivität und Injektivität falsch herumhantierst, solltest du erstmal sagen, von welcher Abbildung du überhaupt Surjektivität und Injektivität zeigen willst, bis jetzt steht da nämlich noch nichts Weiterbringendes. Dass jedes Element durch Multiplikation mit Eins erreicht werden kann, ist trivial und hilft einfach noch nicht weiter.

09.03.2009, 09:42

peter09

Auf diesen Beitrag antworten »

mein "Beweis" ist also falsch, ich hab's mir gerade am Beispiel klargemacht. Jetzt bin ich wieder mal am Anfang.
Es gelten die Bedingungen aus dem ersten Post. Ich muss dann zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \forall a \in K \setminus \{0\} \exists b \in K \setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} ab=1 \end{eqnarray*}$

Kannst du mir vlt ein Tipp geben, wie ich anfangen könnte? Ich stehe da irg-wie aufm Schlauch.
Danke, peter.

09.03.2009, 12:06

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt, du musst umgekehrt rangehen: Sei $\begin{eqnarray*} a\in K\setminus\{0\} \end{eqnarray*}$ fest. Betrachte dann die Abbildung $\begin{eqnarray*} f_a:K\setminus\{0\}\to K\setminus\{0\} \end{eqnarray*}$ , gegeben durch $\begin{eqnarray*} f_a(b):=ab \end{eqnarray*}$ . (Überzeuge dich davon, dass sie wirklich nach $\begin{eqnarray*} K\setminus\{0\} \end{eqnarray*}$ abbildet!)

Zeige, dass diese Abbildung injektiv ist. Nach obiger Bemerkung ist sie dann auch surjektiv und dann folgt die Behauptung (wie?).

Neue Frage »

Antworten »

Körperaxiome

Verwandte Themen