Summe n^2 kleiner/gleich n^3

08.03.2009, 10:39	Michael007	Auf diesen Beitrag antworten »
Summe n^2 kleiner/gleich n^3 Halllo zusammen! Wir müssen bei einer benoteten Hausaufgabe beweisen, dass $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n~{k^{2}} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \geq 0, n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ kleiner oder gleich $\begin{eqnarray} n^{3} \end{eqnarray}$ ist. Ich habe nun mit Induktion versucht, habe aber ehrlich gesagt keine Ahnung, wie ich da nun beim Induktionsschritt ansetzen muss. Kann mir da jemand behilflich sein? (Auch mit einer anderen Methode als der Induktion, wenn ich da auf dem Holzweg bin!) Vielen Dank! Gruss Michael
08.03.2009, 11:00	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, mit Induktion geht's aber gut. 1. IndAnfang n = 3 ... zeige die Richtigkeit der Behauptung 2. IndVoauss. Die Behauptung sei richtig für n, daraus zeige die Richtigkeit für (n + 1) $\begin{eqnarray} 0 + 1 + 2^2 + ... + n^2 + (n + 1)^2 \leq (n + 1)^3 \end{eqnarray}$ Ersetze nun links die Summanden von 0 bis n durch die Behauptung (für n) .... mY+
08.03.2009, 15:08	Zizou66	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Formel $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n~k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray}$ ist auch weit verbreitet und kann hier angewendet werden, dann ginge es auch ohne Induktion.
11.03.2009, 11:40	Himbeer-Toni	Auf diesen Beitrag antworten »
Obige Hinweise sind zwar zielführend - dennoch geht's meines Erachtens etwas einfacher... $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n k^2=\sum_{k=1}^n k^2\leq \sum_{k=1}^n n^2 =n^3. \end{eqnarray}$ Fertig!

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