Gruppe von Ordnung 6 und Automorphismen |
| 09.03.2009, 20:53 | derBollen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Gruppe von Ordnung 6 und Automorphismen ich gehe grade ein algebra I skript durch und ich henge gerade an einer (ich glaube einfachen) sache: Warum kann eine Gruppe der Ordnung 6 keinen Automorphismus der Ordnung 5 besitzen? danke für eure hilfe gruß bollen |
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| 10.03.2009, 01:18 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Gruppe von Ordnung 6 und Automorphismen Welche Ordnung können denn die Elemente in der Gruppe haben? Wie viele gibt es davon jeweils maximal? Und was macht ein Automorphismus mit solchen Elementen? Wenn Du darüber etwas nachdenkst, solltest Du sehen, dass es keinen Automorphismus der Ordnung 5 geben kann. Gruß, Reksilat. |
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| 10.03.2009, 18:48 | derBollen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ah, okay, ich glaub ich habs: es gibt (nach sylow oder wie auch immer): 1 element der ordnung 1 3 elemente der ordnung 2 1 element der ordnung 3 1 element der ordnung 6 ein automorphismus schickt elemente von ordnung n auf elemente der ordnung n. außerdem permutiert er die elemente. damit kann er höchstens ordnung drei haben. ist das so richtig? gruß bollen danke für die hilfestellung, ich stand irgendwie voll auf dem schlauch |
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| 10.03.2009, 19:16 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Beachte, dass es außer der zyklischen Gruppe der Ordnung sechs auch noch die gibt, in der die Auflistung deiner Ordnungen falsch ist, weil es ja ganz sicher kein Element der Ordnung sechs geben kann. Im Übrigen hat der Automorphismus von , welcher die auf schickt, die Ordnung sechs. Das liegt daran, dass deine Auflistung auch für eine zyklische Gruppe falsch ist. Es gibt in diesem Fall nämlich ein Element der Ordnung Eins, ein Element der Ordnung Zwei, zwei Elemente der Ordnung Drei, zwei Elemente der Ordnung Sechs. |
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| 10.03.2009, 21:20 | derBollen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
oh ja, das war dumm von mir! ich habe irgendwie gedacht, dass wenn es zb. eine 3-sylowgr. gibt, auch nur ein element von ordnung 3 gibt. dabei gibt es ja zwei elemente der ordnung 3 die aber beide die gleiche 3-sylowgruppe erzeugen! aber ich glaube dass was aber auf jeden fall (für die symmetrische und die zyklische gruppe): es gibt genau ein element der ordnung 1 es gibt mind. ein element der ordnung 2 (mind. eine zwei-sylowgr) es gibt mind. ein element der ordnung 3 (eine drei-sylowgr) bei der symmetrischen gruppe gibt es dann: ein element der ordnung 1 drei elemente der ordnung 2 zwei elemente der ordnung 3. d.h. dann, dass die ordnung eines automorphismus entweder 1, 2, 3 oder 6 für die symmetrische gruppe ist. für die zyklische würde ich sagen kann es nur automorphismen mit ordnung 1 oder 2 geben. das liegt doch daran, dass der automorphismus insbesondere eine permutation ist weil es ein endomorphismus ist oder? so, ich hoffe das stimmt jetzt o_O danke nochma |
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| 10.03.2009, 21:39 | derBollen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich meine natürlich weil er insbesondere bijektiv ist ... und weil ein automorphismus ein homomorphismus ist, schickt er elemente von ordnung n auf ebensolche und damit gibt es nur die obigen möglichkeiten oder? |
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| 11.03.2009, 10:17 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das stimmt.
Wie kommst du darauf? Zeig mir mal einen Automorphismus der Ordnung zwei! Ich zeige dir dafür einen der Ordnung sechs, nämlich derjenige Automorphismus, welcher die Restklasse der Eins auf die Restklasse der Fünf schickt. |
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| 11.03.2009, 18:48 | derBollen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich glaube, du hast die hintereinanderausführung mit der multipliation in Z/6Z verwechselt: sei f ein automorphismus in Z/6Z: f * f(x) = f(f(x)) aber f(x)+f(x) = 2*f(x) und das ist im allgemeinen nicht gleich. sei f der durch f(1) = 5 festgelegte automorphismus dann gilt: f(1) = 5 und f * f(1) = f(5) = f(1+1+1+1+1) = f(1)+f(1)+f(1)+f(1)+f(1) = 25 = 6*4+1 = 1 analog: f(3)=3, f(2)=4, f(4)=2 damit ist f * f dann die identität, d.h. f hat ordnung 2 entschuldigung, dass ich nicht die gescheiten zeichen verwendet hab, aber ich hab das nicht drauf. gruß bollen |
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| 11.03.2009, 19:58 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das war ein Denkfehler von mir. Entschuldige, du hast alles richtig gemacht. 
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| 12.03.2009, 21:20 | derBollen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
jipi! trotzdem danke, dass du mir gezeigt hast, dass ich zwischendrin müll gebaut hab! gruß bollen |
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