Knacknuss: goniometrische Gleichung |
13.03.2009, 09:58 | rosinante | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Knacknuss: goniometrische Gleichung Folgende goniometrische Knacknuss bereitet mir Sorgen: sin(x) + cos(x) + tan(x) = cot(x) 1. Versuch: da sin(x)^2+cos(x)^2=1 habe ich also im Wesentlichen ein Gleichungssystem der Form: ich kann durch die fast-Symmetrie raten, dass a = -b eine Lösung liefert, doch ich möchte die Lösungen algebraisch finden (ist eine schöne Lehrbuchaufgabe aus Bachmann – ist also algebraisch lösbar). Eine Idee wäre zu setzen, aber wie weiter? 2. Versuch: ..hmmm Hilfe - wäre sehr willkommen |
||||
13.03.2009, 10:09 | rosinante | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Knacknuss: goniometrische Gleichung - sorry - ich habe gleich doppelgepostet und wieder gelöscht |
||||
13.03.2009, 10:30 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Knacknuss: goniometrische Gleichung eine lösung ist auf jeden fall |
||||
13.03.2009, 11:02 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gute Idee, um erstmal von dem riesigen Symbolhaufen wegzukommen. Jetzt aber genau hinschauen: In der ersten Gleichung links kannst du ausklammern: |
||||
13.03.2009, 12:03 | rosinante | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
mann o mann. ich hatte ja die Lösung a=-b gesehen - wie blöd muss ich sein, dass ich dann nicht selbst drauf komme es mal spontan mit (a+b) (...)=0 zu probieren. Vielen Dank euch für den prompten Tipp und die Lösung - da stand ich total auf dem Schlauch. |
||||
13.03.2009, 15:43 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Fehlt da nicht noch die Lösung, die sich aus der zweiten Klammer ergibt? Zur Kontrolle: (gerundet) |
||||
Anzeige | ||||
|
||||
13.03.2009, 15:51 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
...und eine weitere: . Insgesamt sind das die beiden reellen Lösungen der Gleichung vierten Grades . |
||||
13.03.2009, 16:56 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ach ja, Ergebnissen von Quadratwurzeln sind positiv und negativ ... Diese kleine Grafik macht es auch deutlich (mit sin(x) entsprechend obigem a): |
||||
13.03.2009, 17:04 | TommyAngelo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Müsste a nicht -0.5 wurzel 2 sein und damit x = -0.78? Man könnte auch noch 2pi addieren, dann ist x=5.5 Dann gibts halt eine Lösung, wo die 2. Klammer 0 ist. |
||||
13.03.2009, 17:42 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ein bilderl dazu |
||||
13.03.2009, 22:55 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vergleiche mal in der Grafik oben die Werte für die Schnittpunkte von lila, rot und grün mit den von dir errechneten Werten, sie passen dazu. |
||||
13.03.2009, 23:11 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nach etwas überlegen: tan(x) + 1 = 0 entspricht a + b = 0 tan(x) + sin(x) = 1 entspricht ab + a = b jeweils nach Division durch b somit x=0,49 entspricht a=0,469 x=4,22 entspricht a=-0,883 passt also zusammen. |
||||
13.03.2009, 23:59 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
14.03.2009, 08:51 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Werner Ich kann zwar deine Tabelle nicht ganz deuten, aber vielleicht liegt hier der Irrtum: Man kann von ausgehend nicht in allen Fällen einfach nur bilden. Richtigerweise berechnet man über erstmal und kann dadurch dann erstmal eingrenzen, in welchem Quadranten liegen darf. Wenn man so will, ist das Polarkoordinatenberechnung mit bekanntem Radius . Konkret: (I) ergibt , also erster Quadrant mit dann . (II) ergibt , also dritter Quadrant mit dann . Liegt natürlich auch an der zwischenzeitlichen nichtäquivalenten Quadrierungsumformung, die Scheinlösungen hervorbringt - die aber durch eine ordentliche Probe zuverlässig entlarvt werden können. |
||||
14.03.2009, 09:40 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@arthur, danke schön, nach einem erholsamen schlaf und einer dusche, ist´s mir auch klar geworden. gestern zu später stunde hat mich der beitrag von etzwane - er ist natürlich unschuldig daran - verwirrt. ich habe nict bedacht, dass gilt arcsin(0.4690)=0.4881 ich habe einfach den arcsin vergessen man sollte halt rechtzeitig zu bett gehen. nochmals danke schön meine meinung: die ganze substituiererei ist zwar sehr hübsch, bringt dann im endeffekt aber nicht allzu viel, denn die gleichung 4. grades wird man ja auch numerisch lösen (müssen). diesen weg hatte ich anfangs auch gewählt, da sich die gleichung 4. grades aber nicht einfach lösen läßt , habe ich den anderen weg gewählt. mit der abspaltung von und der numerischen lösund des 2. trigonometrischen faktors hat man meiner meinung nach viel weniger arbeit. |
||||
14.03.2009, 10:36 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wird man zwar in der Regel so tun, aber nicht "müssen": Schließlich gibt es die algebraische Lösung von Gleichungen vierten Grades, wenn auch in Form exorbitanter Wurzelmonster. |
||||
15.03.2009, 23:18 | rosinante | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo und vielen Dank :-) die numerische Lösung ist natürlich ok, aber die Knacknuss war so noch nicht ganz nach meinem Geschmack gelöst, da ich es ja algebraisch berechnen wollte :-). Lösungsformeln für Gleichungen 4.Ordnung habe ich nicht zur Hand und so habe ich es mir noch mal genauer angeschaut. Hier ist also die Lösung algebraisch (falls es jemanden interessiert): (=>Additionstheorem für Sinus) => quadr. Gleichung für sin(2x) (andere Lösung ist nicht zw. -1 und 1) Somit sin(2x) = 0.828427 also 2x = 0.9762936 + k * 2pi d.h. x = 0.4881 + k * pi oder 2x = 2.165299 + k * 2pi d.h. x = 1.08264 + k * pi Um zu entscheiden, welche Lösungen tatsächlich stimmen, kann man sich überlegen, welche Quadranten in Frage kommen - z.B. wie Arthur Dent es gemacht hat oder so: da (cos(x)+1) positiv (oder null) ist hat die Linke Seite das Vorzeichen des Sinus und die Rechte das Vorzeichen des Cosinus. Als Lösungen kommen also nur Werte in Frage, bei welchen der Sinus und der Cosinus dasselbe Vorzeichen haben => die Lösung muss im 1. oder 3. Quadranten liegen. somit sind die Schlusslösungen: x = 0.4881 + k * 2pi x = 4.2242 + k * 2pi => Knacknuss gelöst. Danke allen für die Hilfe |
||||
16.03.2009, 10:43 | rosinante | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
habe gerade gemerkt, dass ja 1.08264 auch im ersten Quadranten liegt... d.h. diese Lösung muss man halt dann wohl oder übel durch den Einsetz-Test widerlegen. |
||||
16.03.2009, 16:38 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Respekt - dann war die Gleichung 4.Grades am Ende doch nicht so schlimm, d.h. noch ganz passabel lösbar. |
|
Verwandte Themen
Die Beliebtesten » |
|
Die Größten » |
|
Die Neuesten » |
|