algebraischer Abschluss der rationalen Zahlen

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derBollen Auf diesen Beitrag antworten »
algebraischer Abschluss der rationalen Zahlen
Hallo,
meine Frage: Warum kann man den algebraischen Abschluss der rationalen Zahlen als die Menge M der komplexen Zahlen auffassen, die über den rationalen algebraisch sind?

Mir ist klar:
1. M ist ein Körper
2. die komplexen Zahlen sind algebraisch abgeschlossen.
3. M ist (per Definition) algebraisch über den rationalen Zahlen.

Doch warum ist M selbst algebraisch abgeschlossen?

gruß bollen
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: algebraischer Abschluss der rationalen Zahlen
Hallo Bollen,

Widerspruchsbeweis: Nimm Dir erstmal ein nichtkonstantes Polynom , das keine Nullstellen in hat. In hat es natürlich eine Nullstelle und dieses müsste dann transzendent sein.
Das Polynom lässt sich schreiben als mit und . Die sind algebraisch über .


Versuch doch jetzt mal eine algebraische (nämlich endliche) Körpererweiterung von zu basteln, die enthält.

Gruß,
Reksilat
derBollen Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, dann würde ich wie folgt vorgehen:

1. alle von zu dazuadjungieren. Das ist endlich weil die aus kommen, also algebraisch über sind.
2. Zu dem Körper aus 1. selbst dazuadjungieren. (das ist ja jetzt aus dem Körper aus 1.) ist dann ein annulierendes Polynom, damit ist algebraisch und damit ist diese Erweiterung auch endlich.

Zwei endliche erweiterungen hintereinander sind wieder eine endliche Erweiterung.

Ist das dann so richtig?

Vielen dank, fürs erste!

gruß bollen
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht gut aus. Freude
derBollen Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, vielen Dank!
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