(4) stochastische Aufgaben

Neue Frage »

Icewolf Auf diesen Beitrag antworten »
(4) stochastische Aufgaben
Hallo erstmal.

Ich war schon öfter hier im Forum und weiß deshalb, dass ich es hier mit guten Leuten zu tun habe, die mir sicher helfen können. Ich dachte eigentlich, dass ich nicht so schlecht in Stochastik bin, aber mein derzeitiges Aufgabenblatt hat mich anderes gelehrt!

Ich werde es einfach mal hier reinstellen und ich wäre euch wirklich sehr verbunden, wenn ihr mir helfen könntet, da ich nicht einmal den Ansatz so wirklich hinbekomme!

Danke im Voraus
Icewolf

Hier die Aufgaben:

1)
In einer Urne liegen n Kugeln mit den Zahlen von 1 bis n. Die Kugeln werden auf gut Glück eine nach der anderen herausgenommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass wenigstens einmal die Zahl auf der herausgenommenen Kugel mit der Anzahl der bis dahin gezogenen Kugeln übereinstimmt? Gegen welchen Wert strebt die gesuchte Wahrscheinlichkeit für n -+ oo? (Hinweis: Man betrachte die Zahlen der gezogenen Kugeln als eine Permutation der ersten n natürlichen Zahlen. Welche Eigenschaft muss diese Permutation erfüllen damit sie ein für uns günstiges Ereignis darstellt?)

2)
Auf das Intervall AB der Länge a wird auf gut Glück ein Punkt geworfen.
Auf das Intervall Be der Länge b 2: a wird ebenfalls ein Punkt auf gut Glück geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man aus den Intervallen
- vom Punkt A bis zum ersten geworfenen Punkt,
- zwischen den beiden geworfenen Punkten,
- vom zweiten geworfenen Punkt bis zum Punkt C
ein Dreieck zusammensetzen kann? (Hinweis: Formuliere die Bedingungen, welche die Seitenlängen eines Dreiecks erfüllen müssen und berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Bedingungen von diesen 3 Strecken eingehalten werden.)

3)
Die Seitenlänge eine gleichseitigen Dreiecks sei gleichverteilt im Intervall [a, b] wobei 0 < a < b. Berechne die Verteilungsfunktion und die Dichtefunktion der Fläche des Dreiecks.

4)
Eine Zufallsvariable X habe die Verteilungsfunktion Fx (x) = sin (x) für X E [0, pi/2]. Bestimme die Verteilung von Y = sin (X).


verwirrt

Edit (mY+): KEINE Hilferufe im Titel!! Lasse dir was Besseres (das Thema kennzeichnend) einfallen!!!
BarneyG. Auf diesen Beitrag antworten »

Na, da hast du ja einige nette Probleme gepostet. Ich will man mit der Aufgabe 1) anfangen:

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass man beim Ziehen der n Kugeln niemals die Nummer zieht, die der relativen Positionsnummer entspricht. Dieses Problem gibt es in zahlreichen Variationen. z.B. geben n Personen ihren Hut an der Garderobe ab und erhalten sie in zufälliger Reihenfolge zurück. Und man fragt nun nach der Wahrscheinlichkeit, dass keiner der Herren seinen eigenen Hut erhält.

Abstrakt fragt man nach der Anzahl der fixpunktfreien Permutationen. Und dies wird (bekanntermaßen? Big Laugh ) durch die Subfakultät !n beschrieben:

!n = n! * (1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! + - ...)

Da die Anzahl der möglichen Permutationen n! ist, ist die Wahrscheinlichkeit also gleich der alternierenden Summe.

Und wenn man sich an die Potenzreihenentwicklung der e-Funktion erinnert, dann erkennt man, dass diese Summe für n -> oo gegen den Grenzwert 1/e strebt.

Na, das war doch eine leckere Aufgabe! Jetzt warte ich aber erst mal ab, ob das auf fruchtbaren Boden gefallen ist, ehe mich an die nächste Aufgabe heran wage. Big Laugh
Icewolf Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Erstmal vielen Dank für die Antwort!
Ich bin daran gescheitert, mein Ansatz war nämlich folgender:

n Kugeln vorhanden, ohne zurücklegen -> n! mögliche Fälle
beispielsweise:
Ziehung: 10 -> 1 günsitger Fall (nämlich nummer 1 zu Ziehen)

dadurch habe ich angenommen, dass ich 1 günstigen Fall und n! mögliche Fälle habe.
Also für die erste Ziehung. Danach wusste ich nicht mehr weiter, mir war klar, dass ich den Fall, dass die Kugel die meiner Anzahl entspricht, nicht mehr im Sack sein könnte berücksichtigen muss, ich wusste aber nicht wie.

Auf die Subfakultät wäre ich nicht gekommen! VIELEN DANK

Also habe ich jetzt als Lösung:


Ich persönlich habe mich heute den ganzen Tag mit den Beispielen beschäftigt (sind doch noch einige mehr, aber die anderen sind wirklich leicht :thumbsmile

So weit bin ich im Moment:

Beispiel 2)

Ich hab mir mal ne Skizze gemacht:
[attach]10074[/attach]

Dann hab ich mir gedacht, wie müssen die Strecken sein, damit man daraus ein Dreieck machen kann? Naja, sie müssen die Dreiecksungleichung erfüllen! Dh.:





Mein nächster Schritt war also mit geometrischen Überlegungen herauszufinden, wie die Punkte fallen müssten, damit das aufgeht.

Also (für b>= a)

Für Punkt 2 gibt es im Prinzip b mögliche Positionen, aber günstige Positionen für den Fall wäre eigentlich nur, wenn der 2. von der Intervallgrenze B nur so weit weg liegt, damit a nicht größer als a werden kann => (b-a) günsitige
Aufrgund dessen ist es eigentlich für diese Bedingung egal, wo der Punkt a landet, da sie immer erfüllt ist.

Wenn (diesmal) Punkt 2 höchstens (b-a)/2 von b wegliegt, ist egal wo Punkt 1 liegt, y kann nicht größer werden als z und somit ist die Bedingung erfüllt.

Diese Bedingung ist immer erfüllt, da x höchsten so groß wie a werden kann und da b>=a!

Somit würde die Erfüllung aller 3 Bedingungen laut meiner Überlegung nur von b abhängen, und da die Bedingung (b-a)/2 die Bedingung b-a einschließt, wär die Wahrscheinlichkeit für das entstehen eines Dreiecks:


Kann das sein, oder lieg ich da weit daneben? Es kommt mir etwas komisch vor!
Naja...

Zu Beispiel 4 hab ich auch was:







Ich weiß leider gar nichts über Transformation von Verteilungsfunktionen, deshalb glaub ich auch nicht, dass das richtig ist.

Ok, das ist leider alles, was ich erreicht habe verwirrt

Grüße
Icewolf
_t Auf diesen Beitrag antworten »

hi icewolf,

ich denke dein ergebnis bei der 2ten aufgabe :



ist nicht richtig.

wäre dieses ergebnis richtig hättest du bei dem fall so haben wir das unmögliche erebnis und das würde bedeuten es gibt keine möglichkeit ein dreieck aus den strecken mehr zu bilden.


ich selbst habe folgenden vorschlag:







die günstigen bereiche für lassen sich dann angeben mit:








ich denke so sollte man das angehen.
überprüfe bitte selbst diesen ansatz auf richtigkeit.

gruß

_t

ps: stochastik ist nicht mein steckenpferd Augenzwinkern
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »