Struktursatz für endlich erzeugte abelsche Gruppen

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derBollen Auf diesen Beitrag antworten »
Struktursatz für endlich erzeugte abelsche Gruppen
Beim Struktursatz für endlich erzeugte Abelsche Gruppen (Jede endlich erzeugte abelsche Gruppe ist isomorph zu einem direkten Produkt von endlich vielen zyklischen Gruppen), habe ich sowohl eine Darstellung, in der wirklich das direkte Produkt vorkommt als auch eine, bei der das direkte Produkt durch eine direkte Summe erstetzt wurde, gefunden. Die zyklischen Gruppen selbst wurden dabei als Z/nZ bzw. Z geschrieben.
Deshalb habe ich zwei Fragen:
1.)Liegt das daran, dass für Moduln direkte Summe und direktes Produkt isomorph zum kartesischen Produkt sind, und die Z/nZ und Z als Z-Moduln interpretiert werden?
2.)Ist die direkte Summe allgemein für abelsche Gruppen zum kartesischen Produkt isomorph?

Gruß Bollen
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Eine direkte Summe von endlich vielen Gruppen/Vektorräumen/... ist immer isomorph zum direkten Produkt ebendieser Gruppen/Vektorräume/.... Nur für unendlich viele Summanden/Faktoren sind direkte Summe und direktes Produkt verschieden.
derBollen Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar, danke. ich werd mir das mal so merken.

eins verwirrt mich nur:
wir haben direkte summe und direktes produkt mit diesen pfeilchendiagrammen eingeführt (die pfeilchen bei direkter summe und produkt waren da gerade umgedreht).
beim existenzbeweis des direkten produkts zweier gruppen haben wir ein paar zeilen gebraucht.
bei der direkten summe dagegen musste beim existenzbeweis ein riesenaufwand betrieben werden: wir haben einen umweg über die freie gruppe gemacht und mussten dann noch einen normalteiler rausdividieren ...
die so konstruierten dinge sehen für mich ziemlich verschieden aus und die isomorphie blieb bei uns im skript irgendwie auf der strecke ...

gruß bollen
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Anscheinend habt ihr die beiden Dinge über die universellen Eigenschaften eingeführt. Bis auf Isomorphie gilt folgendes: Sind Gruppen für gegeben, so ist
  • das direkte Produkt einfach gegeben durch das cartesische Produkt

    ,

    zusammen mit der komponentenweisen Gruppenverknüpfung



  • die direkte Summe gegeben durch eine bestimmte Teilmenge des cartesischen Produkts, ebenfalls mit der komponentenweisen Gruppenverknüpfung, und zwar durch ( neutrales Element!)

    .

Die direkte Summe ist also immer eine Untergruppe des direkten Produkts. Bei endlich vielen Gruppen ist aber jedes Element aus dem direkten Produkt auch in der direkten Summe enthalten, denn in jedem endlichen Tupel gilt auf jeden Fall bis auf endlich viele , da es ja nur endlich viele Einträge sind. Für endlich viele Gruppen sind also direktes Produkt und direkte Summe, so wie ich es hingeschrieben habe, sogar gleich.
gast1 Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt nur in der Kategorie der abelschen Gruppen.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

@gast1
Warum?
 
 
gast1 Auf diesen Beitrag antworten »

Versuche, die universelle Eigenschaft der direkten Summe für S nachzuweisen, falls Du nicht in der Kategorie der abelschen Gruppen bist. Du wirst feststellen, dass sie nicht gilt.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt, aber ich kann trotzdem eine direkte Summe, wie oben beschrieben, bilden und auch dann sind im Falle endlich vieler Gruppen direkte Summe und direktes Produkt isomorph.
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