Ein paar Fragen zu Grundlagen

18.03.2009, 18:08

Mathematiklernender

Ein paar Fragen zu Grundlagen

Servus,

ich hätte ein paar Fragen zu ein paar Grundlagen. Ich lege mal los:

1. Geordnete Paare. Eine Eigenschaft von geordneten Paaren ist ja:

$\begin{eqnarray*} \langle x,y \rangle = \langle s,t \rangle \Leftrightarrow x = s \land y = t \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x,s \in M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y,t \in N \end{eqnarray*}$ (M, N Mengen).

Das würde ich gerne beweisen.

" $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ " ist ja trivial. Da ergibt sich sofort: $\begin{eqnarray*} x = s \land y = t \Rightarrow \langle x,y \rangle = \langle s,t \rangle \end{eqnarray*}$

Bei " $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ " bin ich mir nicht ganz sicher, ob mein Weg so ok ist. Ich wende die Definition eines geordneten Paares an:

$\begin{eqnarray*} \langle x,y \rangle = \{\{x\}, \{x,y\}\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \langle s,t \rangle = \{\{s\}, \{s,t\}\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \{\{x\}, \{x,y\}\} = \{\{s\}, \{s,t\}\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x = s \land y = t \end{eqnarray*}$

Hier bin ich mir eben nicht sicher, ob die letzten beiden Zeilen so genügen "(wenn {{x}, {x,y}} gleich {{s}, {s,t}} sein soll, dann muss x = s und y = t sein").

2. Mengen. Worin besteht der Unterschied zwischen $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{\emptyset\} \end{eqnarray*}$ ? Laut meinem Buch ist z. B. $\begin{eqnarray*} \emptyset \in \{\emptyset\} \end{eqnarray*}$ eine wahre Aussage und $\begin{eqnarray*} \emptyset \in \emptyset \end{eqnarray*}$ eine falsche. Die leere Menge in geschweiften Klammern stellt doch eine Menge M in aufzählender Form dar, sprich $\begin{eqnarray*} M = \{\emptyset\} \end{eqnarray*}$ , womit $\begin{eqnarray*} \{\emptyset\} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} \emptyset := \{x|x \neq x\} \end{eqnarray*}$ . Die leere Menge in geschweiften Klammern ist also keine leere Menge, sondern diejenige Menge, die die leere Menge enthält, was aber ungleich der leeren Menge ist, weil die leere Menge auch die leere Menge NICHT enthält (den Satz konnte ich mir nicht verkneifen :D)?

Es werden noch ein paar Fragen folgen. Während ich das nächste Posting verfasse, kriege ich aber vielleicht schon Antworten auf dieses.

18.03.2009, 19:12

system-agent

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Zu 1)
Ihr habt also $\begin{eqnarray*} <x,y> \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \{\{x\},\{x,y\}\} \end{eqnarray*}$ definiert?
Dann ist alles OK so.
Vielleicht noch ein kleiner Satz à la:
"Zwei Mengen sind per definitionem genau dann gleich, wenn alle ihre Elemente gleich sind."
Wenn man das zweimal anwendet, dann sieht man formal die geforderte Bedingung.

Zu 2)
Die leere Menge ist die Menge, die kein Element enthält, nach Definition.
Das heisst $\begin{eqnarray*} x\in\emptyset \end{eqnarray*}$ ist eine falsche Aussage für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , ganz egal wo $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auch herkommt.
Die Schreibung $\begin{eqnarray*} \{\emptyset\}=:M \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine Menge von Mengen ist, das heisst die Elemente von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ sind wieder Mengen. Genauer: $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist diejenige Menge, deren einziges Element die leere Menge ist.
Deshalb: $\begin{eqnarray*} \emptyset\in M=\{\emptyset\} \end{eqnarray*}$ ist wahr.

18.03.2009, 19:20

Mathematiklernender

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3. Mengenlehre, Aussagenlogik

Es soll gezeigt werden, dass:

$\begin{eqnarray*} K \cup L = L \Rightarrow \complement_M L \subset \complement_M K \end{eqnarray*}$ . Dabei sind K, L Teilmengen von M.

$\begin{eqnarray*} x \in K \cup L = L \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x \in K \lor x \in L \Leftrightarrow x \in L \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x \in L \lor x \in M \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} (x \in L \Rightarrow x \in M) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow x \in M \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x \in M \land x \notin L \end{eqnarray*}$

Genügt das?

19.03.2009, 00:56

Pavel

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Moin Mathematiklernender!
Bin zwar selbst erst in der 11. Jahrgangsstufe und habe erst vor kurzer Zeit angefangen, mich mit Aussagenlogik und Mengenlehre zu beschäftigen, aber ich denke, ich könnte ein bisschen weiterhelfen. Falls ich aufgrund meines noch sehr spärlichen Wissens hier Mist schreibe, möge mir das doch bitte verziehen werden. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Mathematiklernender
3. Mengenlehre, Aussagenlogik

Es soll gezeigt werden, dass:

$\begin{eqnarray*} K \cup L = L \Rightarrow \complement_M L \subset \complement_M K \end{eqnarray*}$ . Dabei sind K, L Teilmengen von M.

$\begin{eqnarray*} x \in K \cup L = L \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x \in K \lor x \in L \Leftrightarrow x \in L \end{eqnarray*}$

Bis hierhin kann ichs noch nachvollziehen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x \in L \lor x \in M \end{eqnarray*}$

Du wolltest doch eigentlich nur zeigen, dass jedes x, egal ob es in K oder L ist, auch Element von L ist. Daher finde ich das $\begin{eqnarray*} \lor x \in M \end{eqnarray*}$ hier verwirrend.
Du fängst mit einem x an, das in der Vereinigungsmenge von K und L steckt und solltest aus der Eigenschaft $\begin{eqnarray*} K \cup L = L \end{eqnarray*}$ doch einzig und allein folgern, dass ein solches x in jedem Falle Element von L ist. Laut deiner Folgerung wäre dieses x aber nicht nur in L, sondern könnte genauso auch irgendwo in M liegen, also auch in $\begin{eqnarray*} \complement_M L \end{eqnarray*}$ .

Aus der Aussage $\begin{eqnarray*} K \cup L = L \end{eqnarray*}$ sollte meines Erachtens gefolgert werden, dass K Teilmenge von L ist.

Zitat:

Da $\begin{eqnarray*} (x \in L \Rightarrow x \in M) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow x \in M \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x \in M \land x \notin L \end{eqnarray*}$

Was willst du hiermit Aussagen? Zusätzliche Erklärungen wären ganz hilfreich. Die erste Zeile ist mir noch ersichtlich: aus der Teilmengenbeziehung von L und M hast du geschlossen, dass ein x, das in L liegt auch in M liegen muss. Der nächste Schritt verwirrt mich aber. Laut deiner Aussage liegt dieses x plötzlich in $\begin{eqnarray*} \complement_M L \end{eqnarray*}$ . Das steht aber doch im direkten Widerspruch zu der Annahme, dass x in L liegt.

Ich hätte an die vorhergehende Erkenntniss, dass K Teilmenge von L ist angeknüpft und irgendwie daraus gefolgert, dass das Komplement zu K Obermenge zum Komplement von L ist, was ja nach ein bisschen Überlegen klar ist. Wie genau das formal zu beweisen wäre, wüsste ich zwar grad nicht, aber ich denke, dass man diesem Denkansatz folgen sollte.

Zitat:

Genügt das?

Keine Ahnung, da müssen dir die richtigen Mathematiker hier Auskunft geben. Aber aufgrund der Verwirrung, die dein Beweisansatz bei mir ausgelöst hat - normalerweise kann ich korrekte Beweise ganz gut nachvollziehen - schätze ich mal nein. Bitte korrigiert mich, falls ich irgendwelche blöden Fehler gemacht habe - bin mit der Formelsprache der Logik noch nicht so vertraut, wie ich es gerne wäre, und hoffe, dass ich den Beweisversuch richtig interpretiert habe.

Mit freundlichem Gruß,
Pavel

19.03.2009, 12:13

Mathematiklernender

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Grüß dich, Pavel.

Zitat:

Original von Pavel

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x \in L \lor x \in M \end{eqnarray*}$

Du wolltest doch eigentlich nur zeigen, dass jedes x, egal ob es in K oder L ist, auch Element von L ist. Daher finde ich das $\begin{eqnarray*} \lor x \in M \end{eqnarray*}$ hier verwirrend.

Das ist nicht ganz richtig. Gegeben sind zwei Aussagen:

(i) $\begin{eqnarray*} K \cup L = L \end{eqnarray*}$

(ii) $\begin{eqnarray*} \complement_M L \subset \complement_M K \end{eqnarray*}$ .

Dabei sind K, L Teilmengen von M.

Zu zeigen ist, dass aus (i) (ii) folgt: $\begin{eqnarray*} (i) \Rightarrow (ii) \end{eqnarray*}$ . Dazu muss ich nicht erst zeigen, dass (i) gilt; das setze ich voraus.

Zitat:

Original von Pavel
Du fängst mit einem x an, das in der Vereinigungsmenge von K und L steckt und solltest aus der Eigenschaft $\begin{eqnarray*} K \cup L = L \end{eqnarray*}$ doch einzig und allein folgern, dass ein solches x in jedem Falle Element von L ist.

Nein. Das ist doch bereits gegeben!

Zitat:

Original von Pavel
Laut deiner Folgerung wäre dieses x aber nicht nur in L, sondern könnte genauso auch irgendwo in M liegen, also auch in $\begin{eqnarray*} \complement_M L \end{eqnarray*}$ .

Da K und L Teilmengen von M sind, ist ein beliebiges x IMMER auch Element von M. Dass es in $\begin{eqnarray*} \complement_M L \end{eqnarray*}$ liegt, darauf will ich hinaus, aber ich merke gerade, dass wir den gleichen Denkfehler haben. Es folgt nämlich leider NICHT, dass ein x genau so gut in $\begin{eqnarray*} \complement_M L \end{eqnarray*}$ liegen könnte. Stell dir die reellen Zahlen vor. Stell dir weiterhin die natürlichen Zahlen als Teilmenge vor. Dann liegt beispielsweise 2 zwar in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , aber nicht in $\begin{eqnarray*} \complement_\mathbb R \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Pavel

Zitat:

Da $\begin{eqnarray*} (x \in L \Rightarrow x \in M) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow x \in M \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x \in M \land x \notin L \end{eqnarray*}$

Das verwirrt dich, weil es schlicht und ergreifend falsch ist. Big Laugh

Es muss natürlich heißen:

$\begin{eqnarray*} x \in K \cup L = L \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (x \in K) \Rightarrow (x \in L) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (x \in M \land x \notin L) \Rightarrow (x \in M \land x \notin K) \end{eqnarray*}$

Dein Denkansatz, dass K Teilmenge von L sein muss, ist völlig korrekt gewesen.

19.03.2009, 19:10

system-agent

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Zitat:

Original von Mathematiklernender

$\begin{eqnarray*} x \in K \cup L = L \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (x \in K) \Rightarrow (x \in L) \end{eqnarray*}$

Diese Implikation ist falsch, denn für ein $\begin{eqnarray*} x\in K\cup L \end{eqnarray*}$ folgt eben nicht dass $\begin{eqnarray*} x\in K \end{eqnarray*}$ .

Fange anders an:
Sei $\begin{eqnarray*} x\in\complement _ML \end{eqnarray*}$ . Es folgt, dass $\begin{eqnarray*} x\notin L \end{eqnarray*}$ .
Jetzt nutze die Voraussetzung.

19.03.2009, 20:36

Mathematiklernender

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Zitat:

Original von system-agent

Zitat:

Original von Mathematiklernender

$\begin{eqnarray*} x \in K \cup L = L \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (x \in K) \Rightarrow (x \in L) \end{eqnarray*}$

Diese Implikation ist falsch, denn für ein $\begin{eqnarray*} x\in K\cup L \end{eqnarray*}$ folgt eben nicht dass $\begin{eqnarray*} x\in K \end{eqnarray*}$ .

Für ein $\begin{eqnarray*} x\in K\cup L \end{eqnarray*}$ folgt das tatsächlich nicht. Für ein $\begin{eqnarray*} x\in K\cup L = L \end{eqnarray*}$ aber schon. K kann nur Teilmenge von L sein, wenn K und L vereinigt wieder L ergeben soll. verwirrt

19.03.2009, 20:49

Mathematiklernender

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Zitat:

Original von Mathematiklernender
Für ein $\begin{eqnarray*} x\in K\cup L \end{eqnarray*}$ folgt das tatsächlich nicht. Für ein $\begin{eqnarray*} x\in K\cup L = L \end{eqnarray*}$ aber schon. K kann nur Teilmenge von L sein, wenn K und L vereinigt wieder L ergeben soll. verwirrt

Ich korrigiere mich. Natürlich folgt auch aus $\begin{eqnarray*} x\in K\cup L = L \end{eqnarray*}$ nicht, dass $\begin{eqnarray*} x \in K \end{eqnarray*}$ ist. Das habe ich ja auch nicht behauptet in meinem Beweis. Ich habe behauptet, dass K Teilmenge von L ist:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (x \in K) \Rightarrow (x \in L) \end{eqnarray*}$ ("Daraus folgt: Wenn x in K ist, dann ist x auch in L).

19.03.2009, 22:10

Pavel

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Du musst bei deinen Folgerungen eben beachten, dass du hier mit unterschiedlichen x zu tun hast.
Wenn du ein x als Element einer Menge definierst und mit Implikationspfeilen auf weitere Aussagen über ein x schließt, enspricht dieses x genau dem x, dass du am Anfang definiert hast.

20.03.2009, 14:32

Mathematiklernender

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Ich verstehe nicht, worauf du hinaus willst. $\begin{eqnarray*} K\cup L \end{eqnarray*}$ ist EINE Menge und $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ ist eine Menge. Beide Mengen sind als gleich definiert. Also: $\begin{eqnarray*} x\in K\cup L \Leftrightarrow x \in L \end{eqnarray*}$ . Das kann aber nur DANN der Fall sein, wenn: $\begin{eqnarray*} K \subset L \end{eqnarray*}$ . Hätte K Elemente, die nicht in L sind, könnte die Vereinigungsmenge nicht gleich L sein. $\begin{eqnarray*} K \subset L \end{eqnarray*}$ ist definiert als: $\begin{eqnarray*} x \in K \Rightarrow x \in L \end{eqnarray*}$ . Es folgt also aus $\begin{eqnarray*} x\in K\cup L \Leftrightarrow x \in L \end{eqnarray*}$ unmittelbar: $\begin{eqnarray*} x \in K \Rightarrow x \in L \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt dann auch letztendlich Aussage (ii): $\begin{eqnarray*} \Rightarrow (x \in M \land x \notin L) \Rightarrow (x \in M \land x \notin K) \end{eqnarray*}$ . Wenn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nämlich in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , aber nicht in der Obermenge von $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ enthalten ist, ist $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auch in M, aber nicht in der Teilmenge von $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ enthalten.

Unterschiedliche $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ? Es handelt sich um ein beliebiges, aber festes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

20.03.2009, 18:44

Pavel

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Hallo Mathematiklernender!

Danke für deine Bemühung um eine ausführliche Erklärung, aber du sagst mir nichts, was ich nicht auch schon vorher wusste. Meine Aussage bezog sich nur auf das, was system-agent schon angemerkt hatte.

Zitat:

Original von system-agent
$\begin{eqnarray*} x \in K \cup L = L \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (x \in K) \Rightarrow (x \in L) \end{eqnarray*}$

Diese Implikation ist falsch, denn für ein $\begin{eqnarray*} x\in K\cup L \end{eqnarray*}$ folgt eben nicht dass $\begin{eqnarray*} x\in K \end{eqnarray*}$ .

Du musst beachten, dass für die Implikationen völlig egal ist, ob du irgendwelche Zeilenumbrüche machst. Also schauen wir uns mal an:

$\begin{eqnarray*} x \in K \cup L = L \Rightarrow (x \in K) \Rightarrow (x \in L) \end{eqnarray*}$

Und da ist in der ersten Implikation schon direkt eine falsche Folgerung zu sehen. Aus der Aussage, dass ein beliebiges x in der Verieinigungsmenge von K und L liegt, die gleich L ist, folgt nicht, dass dieses beliebige aber feste x auch in K steckt.

Aufgrund deiner Aussage

Zitat:

Natürlich folgt auch aus $\begin{eqnarray*} x\in K\cup L = L \end{eqnarray*}$ nicht, dass $\begin{eqnarray*} x \in K \end{eqnarray*}$ ist. Das habe ich ja auch nicht behauptet in meinem Beweis

habe ich versucht, dich darauf aufmerksam zu machen, dass du in der Tat genau das in deinem Beweis behauptet hast.

Der Fehler liegt allein in der formalen Schreibweise.
Ich denke, man könnte das leicht beheben, indem man die Klammern anders setzt:

$\begin{eqnarray*} x \in K \cup L = L \Rightarrow (x \in K \Rightarrow x \in L) \end{eqnarray*}$

MfG, Pavel

20.03.2009, 19:30

Mathematiklernender

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Alles klar. Verstehe. Es sah wegen der fehlenden Klammer aus wie: "A folgt B folgt C", obwohl gemeint war: "A folgt (B folgt C)." Sagt das doch gleich. Big Laugh

20.03.2009, 20:49

Pavel

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So, hab mich inzwischen mal hier angemeldet.
Ich würde zwischen die beiden Schritte

$\begin{eqnarray*} x \in K \Rightarrow x \in L \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (x \in M \land x \notin L \Rightarrow x \in M \land x \notin K) \end{eqnarray*}$

die Kontraposition von $\begin{eqnarray*} x \in K \Rightarrow x \in L \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x \notin L \Rightarrow x \notin K \end{eqnarray*}$ setzen.

Das macht die Folgerung $\begin{eqnarray*} \Rightarrow (x \in M \land x \notin L \Rightarrow x \in M \land x \notin K) \end{eqnarray*}$ meines Erachtens sehr viel ersichtlicher.

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