Beweis des goldenen Schnitts

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18.03.2009, 21:06	saloniki	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis des goldenen Schnitts Hallo! Ich besuche die 12. Klasse eines schönen Gymnasiums in Köln, und da Mathe mein schlechtestes (!!!) Fach ist, habe ich mich natürlich für eine Mathematik Facharbeit entschieden.... Nun mein Thema ist der "Goldene Schnitt". Ich habe im Grunde das Meiste verstanden, nur die Rechenschritte verwirren mich etwas. Also in der Fachliteratur steht geschrieben: Sei AB eine Strecke der Länge a. Ein Punkt S von AB teilt diese Strecke im goldenen Schnitt, falls gilt: a/M = M/m also genau dann, wenn am = M² gilt. Beweis: Es sei a die Länge der Strecke AB. Dann gilt a = M + m. Aus der Definition des goldenen Schnittes ergibt sich weiter: S teilt AB im goldenen Schnitt <=> am = M² [Definition des goldenen Schnitts] <=> (M + m)m = M² [Einsetzen von a = M + m] <=> M/m + 1 = (M/m)² [Division durch m²] <=> (M/m)² - M/m - 1 = 0 Diese quadratische Gleichung in der Unbekannten M/m hat die beiden Lösungen: M / m = 1 ± Wurzel 5 / 2 So bis "<=> (M + m)m = M² [Einsetzen von a = M + m]" verstehe ich es noch, aber alles was danach kommt, kann ich mir einfach nicht (selbst) erklären. Falls mir irgendjemand helfen könnte, wäre ich demjenigen sehr (!!!!!!!!) dankbar!! Grüße von mir
18.03.2009, 21:26	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis des goldenen Schnitts Ich würd ja helfen, aber ich versteh nicht wirklich was man da nicht verstehen kann, besonders da die Erklärung hinter jeder Prozedur stehen.
19.03.2009, 10:23	saloniki	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis des goldenen Schnitts Ich verstehe nicht woher die + 1 bei " M/m + 1 = (M/m)² [Division durch m²]" herkommt und warum bei der Division durch m² "(M/m)² - M/m - 1 = 0" rauskommt. Also ich bin wirklich sehr schlecht in Mathe, ich weiß zwwar wie man eine quadratische Ergänzung ausrechnet ( was zu den wenigen Dingen gehört, die ich "gut" beherrsche, aber wie man auf die Gleichung kommt halt nicht.
19.03.2009, 11:20	rosinante	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, (M + m)m = M² die Klammer links ausmultiplizieren $\begin{eqnarray} Mm + m^{2} = M^{2} \end{eqnarray}$ nun links und rechts durch m^2 dividieren. Da links eine Summe steht, musst du beide Summanden durch m^2 teilen: $\begin{eqnarray} \frac{Mm}{m^2} = \frac{M}{m} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{m^2}{m^2} =1 \end{eqnarray}$ Somit erhältst du $\begin{eqnarray} \frac{M}{m} + 1 = \frac{M^{2}}{m^2} \end{eqnarray}$ Edit (mY+): LaTex korrigiert.
19.03.2009, 11:31	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} a = M + m \end{eqnarray}$ S teilt AB im goldenen Schnitt $\begin{eqnarray} am = M^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (M + m)m = M^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \to \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Mm + m^2 = M^2 \end{eqnarray}$ .. da haben wir ausmultipliziert Wir wollen nun aus dieser Gleichung das Verhältnis (M/m) berechnen, dazu wird durch $\begin{eqnarray} m^2 \end{eqnarray}$ dividiert: $\begin{eqnarray} \to \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{M}{m} + 1 = \frac{M^2}{m^2} \end{eqnarray}$ .. jetzt weisst du wohl, wo die 1 herkommt $\begin{eqnarray} \frac{M}{m} + 1 = (\frac{M}{m})^2 \end{eqnarray}$ Dies ist eine quadratische Gleichung in $\begin{eqnarray} \frac{M}{m} \end{eqnarray}$ , um sie formelmäßig aufzulösen, bringen wir sie auf Null: $\begin{eqnarray} (\frac{M}{m})^2 - \frac{M}{m} - 1 = 0 \end{eqnarray}$ Der Ausdruck $\begin{eqnarray} \frac{M}{m} \end{eqnarray}$ übernimmt die Rolle der Unbekannten in dieser Gleichung, man kann diesen auch vorübergehend x (Substitution) setzen, dann lautet die Gleichung $\begin{eqnarray} x^2 - x -1 = 0 \end{eqnarray}$ Deren Lösung $\begin{eqnarray} x_{1,2} = \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt5}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{1,2} = \frac{1}{2} (1 \pm \sqrt5) \end{eqnarray}$ Jetzt kannst du statt x wieder $\begin{eqnarray} \frac{M}{m} \end{eqnarray}$ setzen und es ist $\begin{eqnarray} (\frac{M}{m})_{1,2} = \frac{1}{2} (1 + \sqrt5) \end{eqnarray}$ Dieses Teilverhältnis ist unabhängig von der Länge a, es ist für alle Strecken immer gleich. Für den goldenen Schnitt ist nur das postive Vorzeichen der Wurzel sinnvoll. mY+
19.03.2009, 22:22	saloniki	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank!! Als ich es mir heute noch einige (!) Male ansah, habe ich es dann auch verstanden, aber dann kam die böse quadratische Ergänzung. [Dafür bin ich gut in Englisch, Bio und generell überall, außer Mathe] Na ja ich danke trotzdem, da diese Lösungswege genauer sind als meine. schönen Abend noch
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20.03.2009, 15:15	saloniki	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich habe erkannt, dass ich hier nochmal Hilfe brauche mit der quadratischen Gleichung. Ich habe auch schon in den Mathe LKs hausiert, aber da konnte mir auch keiner helfen. Folgendes: wie man zu " (M/m)² - M/m - 1 = 0" gelangt, habe ich verstanden, aber wie gelangt man von dieser Gleichung zu der folgenden: " M/m = ( 1 +\|- Wurzel 5) / 2" Ich habe es bereits einige Male mit der PQ - Formel ausgerechnet, jedoch war es natürlich das falsche Ergebnis.In meinem Buch (Der Goldene Schnitt, Beutelspacher) steht zwischen diesen Gleichungen nur: "Als Lösungen dieser quadratischen Gleichung ( in der Unbekannten M/m ) erhalten wir:"
20.03.2009, 19:57	Pavel	Auf diesen Beitrag antworten »
Also das ist nun wirklich nicht mehr als eine stupide Anwendung der pq-Formel. Du hast eine quadratische Gleichung nach dem Aufbau $\begin{eqnarray} x^2+px+q=0 \end{eqnarray}$ . Damit ist bei deiner Gleichung $\begin{eqnarray} p=-1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} q=-1 \end{eqnarray}$ . Einsetzen in die pq-Formel $\begin{eqnarray} x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\frac{p^{2}}{4}-q} \end{eqnarray}$ ergibt: $\begin{eqnarray} x_{1,2}=-\frac{-1}{2}\pm\sqrt{\frac{(-1)^2}{4}-(-1)}=\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}+1}=\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{4}{4}}=\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{5}{4}}=\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4}}=\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{1}{2}\cdot\left(1\pm\sqrt{5}\right) \end{eqnarray}$ Ausführlicher als ich das jetzt gemacht habe geht das glaub ich kaum...
21.03.2009, 12:35	saloniki	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, aber ich verstehe es immer noch nicht, warum sollte auch p= -1 sein?
21.03.2009, 16:16	Pavel	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau dir noch mal mYthos' Post an. Dort steht: $\begin{eqnarray} x^2 - x -1 = 0 \end{eqnarray}$ Das ist gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray} x^2 - 1\cdot x -1 = 0 \end{eqnarray}$ und da siehst du doch wohl auf den ersten Blick, dass $\begin{eqnarray} p=-1 \end{eqnarray}$ ist...
21.03.2009, 16:37	saloniki	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah!!!! Jetzt habe ich es verstanden; vielen vielen Dank! Dann ist der - für mich - schwierige Teil abgeschlossen. Bäm! Also vielen Dank nochmal für die Mühen!

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