Aufgabe: Differenzierbarkeit-Stetigkeit

11.09.2006, 19:23

PG

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Aufgabe: Differenzierbarkeit-Stetigkeit

hi

ich habe zwei aufgaben:

1) $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt[2]{x} \end{eqnarray*}$

ist diese Funktion global stetig und global differenzierbar?

Antwort: Ja sie ist global stetig in ihrem Definitionsbereich, aber nicht global differenzierbar in x=0, denn:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{\sqrt[2]{x+h}-\sqrt[2]{x}}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{h}}{\sqrt{h}\cdot\sqrt{h}}=\lim_{h \to 0}\frac{1}{\sqrt{h}}\to\infty \end{eqnarray*}$

also es existiert kein Grenzwert dort und somit ist es auch dort nicht differenzierbar!

2) Die ist schon schwieriger:
Die Parabel $\begin{eqnarray*} p_1:y=\frac{1}{4}(x-4)^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p_2:y=-\frac{1}{16}x^2+\frac{1}{2}x+4 \end{eqnarray*}$ schneiden sich in den Punkten A und D. Die Gerade $\begin{eqnarray*} g:x-a=0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0<a<8 \end{eqnarray*}$ schneidet $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ in B und $\begin{eqnarray*} p_2 \end{eqnarray*}$ in C.
Für welchen Wert von a hat der Inhalt des Dreiecks ABC seinen größten Wert? Zeichnung für $\begin{eqnarray*} x\in[-1;9] \end{eqnarray*}$

Also erstmal Schnittpunkte berechnen:

$\begin{eqnarray*} p_1=p_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0,25\cdot(x^2-8x+16)=-\frac{1}{16}x^2+0,5x+4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,25x^2-2x+4=-\frac{1}{16}x^2+0,5x+4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=-\frac{5}{16}x^2+2,5x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=x^2-8x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x_2=8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A (0/4) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} D(8/4) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=x-a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=a \end{eqnarray*}$

a ist also eine Konstante!( oder net???)

weiter weiss ich nicht mehr...

11.09.2006, 20:11

sqrt(2)

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RE: Aufgabe: Differenzierbarkeit-Stetigkeit

Zitat:

Original von PG
Antwort: Ja sie ist global stetig in ihrem Definitionsbereich, aber nicht global differenzierbar in x=0, denn:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{\sqrt[2]{x+h}-\sqrt[2]{x}}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{h}}{\sqrt{h}\cdot\sqrt{h}}=\lim_{h \to 0}\frac{1}{\sqrt{h}}\to\infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2=5-3=\sqrt{25}-\sqrt{9}=\sqrt{9+16}-\sqrt{9}=\sqrt{16}=4 \end{eqnarray*}$

Die Lösung ist viel einfacher, versuch mal den linksseitigen Grenzwert zu bilden.

11.09.2006, 20:21

PG

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RE: Aufgabe: Differenzierbarkeit-Stetigkeit

Zitat:

Original von sqrt(2)
$\begin{eqnarray*} 2=5-3=\sqrt{25}-\sqrt{9}=\sqrt{9+16}-\sqrt{9}=\sqrt{16}=4 \end{eqnarray*}$

Die Lösung ist viel einfacher, versuch mal den linksseitigen Grenzwert zu bilden.

erst mal danke für die antwort, aber diese Aufstellung von dir ist zwar interessant(und auch falsch Augenzwinkern

Augenzwinkern

) , aber soll sie mir bei meienr aufgabe weiterhelfen?

Wie meinst du, dass ich den linkseitigen grenzwert bilden soll?

und wie geht die Aufgabe zwei weiter??

11.09.2006, 20:28

JochenX

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RE: Aufgabe: Differenzierbarkeit-Stetigkeit

Zitat:

Original von PG
erst mal danke für die antwort, aber diese Aufstellung von dir ist zwar interessant(und auch falsch Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

mit genau den gleichen falschen Rechengesetzen, die du verwendet hast........

Den Hinweis mit dem Linksseitigen Grenzwert verstehe ich allerdings auch nicht, Differenzierbarkeit kann auch im Rand vorliegen.

Auf jeden Fall solltest du den Grenzwert schon richtig bestimmen, du kürzt eben auch diese Wurzel(x) da weg, wobei du vorne aus einer Summe Wurzel ziehst.

11.09.2006, 20:32

PG

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RE: Aufgabe: Differenzierbarkeit-Stetigkeit

Zitat:

Original von LOED

Zitat:

Original von PG
erst mal danke für die antwort, aber diese Aufstellung von dir ist zwar interessant(und auch falsch Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

mit genau den gleichen falschen Rechengesetzen, die du verwendet hast........
.

Achso, jetzt habe ich verstanden, was sqrt meint!! und ich dachte, dass es einfach der verschönerung dient Big Laugh

Big Laugh

Also nun zum Ernst: ich untersuche die Differenzierbarkeit in x=0, weil ich denke, dass sie dort nicht differenzierbar ist und daher habe ich für x 0 eingesetzt, aber ich habe nicht so gerechnet, wie sqrt schrieb( was ich aber nicht kritisiere, da es zu wiederholung wieder gut ist)

auf jedenfall habe ich da nicht weggekürzt, sondern einfach nur eingesetzt smile

smile

also wie weiter?

11.09.2006, 20:34

sqrt(2)

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RE: Aufgabe: Differenzierbarkeit-Stetigkeit

Zitat:

Original von LOED
Den Hinweis mit dem Linksseitigen Grenzwert verstehe ich allerdings auch nicht, Differenzierbarkeit kann auch im Rand vorliegen.

Stimmt, ergibt nicht viel Sinn, das einzuschränken... Entschuldigung, mein Fehler.

Erweitere mal mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{x+h}+\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ , PG.

edit:

Zitat:

Original von PG
Also nun zum Ernst: ich untersuche die Differenzierbarkeit in x=0, weil ich denke, dass sie dort nicht differenzierbar ist und daher habe ich für x 0 eingesetzt, aber ich habe nicht so gerechnet, wie sqrt schrieb

Ah, ich dachte, du willst auch zeigen, dass überall sonst die Funktion differenzierbar ist, sorry.

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11.09.2006, 20:37

PG

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ach ich habe nun euer Prinzip durchschaut und weiss, worauf ihr hinauswollt smile

smile

hab es erweitert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{x+h-x}{h}=1 \end{eqnarray*}$

hmmm was hat das jetzt wieder zu bedeuten? das stimmt doch wieder nicht ,dass die Steigung überall 1 ist....

11.09.2006, 20:37

JochenX

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RE: Aufgabe: Differenzierbarkeit-Stetigkeit

Zitat:

Original von PG
Also nun zum Ernst: ich untersuche die Differenzierbarkeit in x=0

wenn du NICHT den allgemeinen Diffquotienten berechnen willst, dann ist es immer sinnvoll von Anfang an "0" zu schreiben, oder wenigstens "x0", denn x steht allgemein für die Variable x, x0 für eine Stelle.

Wenn du also NUR für x0=0 bestimmen möchtest, ob f'(x0) existiert, dann ist das sogar okay.

edit: das letzte ist Unsinn, PG

11.09.2006, 20:38

PG

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sryy war eben mein fehler: ich muss es global untersuchen, nur habe ich mich falsch ausgedrückt vorhin- sqrt hatte schon recht. schaut meinen letzten post

edit:ich mach das zum ersten mal, daher muss ich das lernen...

11.09.2006, 20:39

sqrt(2)

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Zitat:

Original von PG
hab es erweitert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{x+h-x}{h}=0 \end{eqnarray*}$

hmmm was hat das jetzt wieder zu bedeuten?

Erstens ergibt das 1, nicht 0, und zweitens musst du schon in Zähler und Nenner mit dem Faktor multiplizieren.

11.09.2006, 20:44

PG

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Zitat:

Original von sqrt(2)

Zitat:

Original von PG
hab es erweitert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{x+h-x}{h}=0 \end{eqnarray*}$

hmmm was hat das jetzt wieder zu bedeuten?

Erstens ergibt das 1, nicht 0, und zweitens musst du schon in Zähler und Nenner mit dem Faktor multiplizieren.

haha du hast recht Hammer

Hammer

ich mach alles zu schnell...( bin in zeitdruck)

also:
$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}\frac{h}{h\cdot(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}=\frac{1}{2\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

also überall differenzierbar, außer 0, weil es für 0 nicht definiert ist? ist es so korrekt formuliert=?

11.09.2006, 20:46

JochenX

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(edit: waren ja eh wieder einige Posts dazwischen)

sry Bene, dass ich mich eingemischt habe; ich poste jetzt noch und gehe dann spazieren und bereite mich mental auf meine Algebraprüfung vor

Aber das muss noch sein:

[at] PG: die Allgemeine Formel hast du

$\begin{eqnarray*} f'(x_0)=\lim_{h \to 0}~\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt hast du folgende Möglichkeiten.
Den Differenzenquotienten an einer speziellen Stelle (z.B. x0=0) auszurechnen, dann darfst du natürlich einfach einsetzen.

Dann bekämst du hier z.B. für x0=0 tatsächlich obige Form und insbesondere würde sich f'(0)=unendlich ergeben, also eine unendliche Steigung in 0, was wir nicht zulassen (deswegen NICHT diffbar).

Einsetzen war zwar TOLL, aber ganz doof, hilft dir das IRGENDWAS für f'(2), f'(17), f'(898978) weiter? NÖ, das müsstest du für jede Stelle neu ausrechnen.

Darum oftmal die allgemeine zweite Möglichkeit, da möchtest du rechts nicht einen Zahlen-Wert haben für ein festes x0, sondern du möchtest eine FUNKTION in Abhängigkeit von einem Variablen x0; dann kannst du mir zu f'(2), f'(17) usf. jeden Wert einfach einsetzen und direkt die Steigung ausrechnen.

Wenn du das willst, dann musst du x0 immer wie einen Parameter behandeln, insbesondere musst du aber dafür sorgen, dass rechts eine sinnvolle Funktion steht, ohne x0 fest gewählt zu haben.
Sinnvolle Funktion heißt dabei, du musst irgendwie das h im Nenner loswerden, denn danach kannst du ja für h (! nicht für x0 !) konkret 0 einsetzen und dann bekommst du das was du wolltest, f'(x0) als allgemeine Funktion von x0.

z.B. für g(x)=x^2 bekommst du durch einsetzen g'(0)=0, g'(2)=4
aber eben auch die ALLGEMEINE AbleitungsFUNKTION g'(x0)=2x0 und sowas suchst du hier auch.

Solange das x0 aber wie einen Parameter behandeln.

11.09.2006, 20:49

PG

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danke Loed habe es verstanden smile

smile

also ist das oben richtig?

dann nun zu 2)- nur noch das!

wie gehts weiter?

11.09.2006, 21:04

sqrt(2)

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RE: Aufgabe: Differenzierbarkeit-Stetigkeit

Zitat:

Original von PG
$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}\frac{h}{h\cdot(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}=\frac{1}{2\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

also überall differenzierbar, außer 0, weil es für 0 nicht definiert ist?

Kann man so sagen.

Zitat:

Original von PG
$\begin{eqnarray*} A (0/4) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} D(8/4) \end{eqnarray*}$

Die sind richtig.

Zitat:

Original von PG
$\begin{eqnarray*} 0=x-a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=a \end{eqnarray*}$

a ist also eine Konstante!( oder net???)

Für den Moment ja.

Du brauchst jetzt B und C, und die sind wirklich sehr einfach zu berechnen. (Eine Skizze der Situation im Anhang.)

11.09.2006, 21:12

mercany

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Das obige passt so!

Zu 2)

Zitat:

Die Gerade $\begin{eqnarray*} g:x-a=0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0<a<8 \end{eqnarray*}$ schneidet $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ in B und $\begin{eqnarray*} p_2 \end{eqnarray*}$ in C.

Wie wärs, wenn du die Schnittpunkte mal berechnest.

\\edit: Nicht aktualisiert. Sorry Bene! Post eigenglich überflüssig nach deinem....

Gruß, mercany

11.09.2006, 21:13

PG

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woher weiss ich, sqrt, dass es sich hierbei um eine relation handelt?

da stand ja nur 0=x-a??? was ist dann mit a, was ist a bei dieser relation?

auf jedenfall muss man für a 4 wählen oder?

oder muss man das jetzt speziell berechnen?

wenn ich so eine aufgabe bekomme, habe ich ja kein funktionszeichner, wie muss ich das alles berechnen?

und ich wiederhole nochmal Big Laugh

Big Laugh

: was ist a im funktionsgraphen?

11.09.2006, 21:25

sqrt(2)

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Zitat:

Original von PG
woher weiss ich, sqrt, dass es sich hierbei um eine relation handelt?

da stand ja nur 0=x-a???

Eine Relation ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts zweier Mengen. Das trifft hier zwar zu, ist aber nicht besonders treffend, "Punktmenge" wäre besser. Ich versuche, auf die Frage zu antworten, von der ich glaube, dass du sie stellen wolltest:

$\begin{eqnarray*} 0=x-a \end{eqnarray*}$ beschreibt eine Menge von Punkten $\begin{eqnarray*} (x,y),~x,y\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ der Ebene quasi als Kurzschreibweise für $\begin{eqnarray*} \lbrace (x,y)\in\mathbb{R}^2~|~0=x-a \rbrace \end{eqnarray*}$ . Wie du nach deiner Umformung sehen kannst, sind das alle Punkte, deren x-Koordinate a ist, eine zur y-Achse parallele Gerade also (so wie die rote in meinem Plot oben).

Zitat:

Original von PG
was ist dann mit a, was ist a bei dieser relation?

Du hast doch in der Aufgabe stehen, dass a eine relle Zahl zwischen 0 und 8 ist. Irgendeine halt.

Zitat:

Original von PG
auf jedenfall muss man für a 4 wählen oder?

Lass a jetzt erstmal a sein. Du weißt nicht, was a ist. Die Schnittpunkte sollst du in Abhängigkeit von a suchen.

11.09.2006, 21:28

PG

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Und wie kann ich nun die Aufgabe lösen?

ich meinte, was a graphisch darstellt bzw aussagt?

$\begin{eqnarray*} y=mx+b \end{eqnarray*}$

da sagt "b" z.b. aus an welcher ordinate der graph die y-achse schneidet... so meinte ich das smile

smile

wie meinst du, dass ich die schnitpunkte in abhängigkeit von a suchen soll?

11.09.2006, 21:31

sqrt(2)

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Zitat:

Original von PG
Und wie kann ich nun die Aufgabe lösen?

ich meinte, was a graphisch darstellt bzw aussagt?

$\begin{eqnarray*} y=mx+b \end{eqnarray*}$

da sagt "b" z.b. aus an welcher ordinate der graph die y-achse schneidet... so meinte ich das smile

smile

Lies mein Posting oben noch einmal.

Zitat:

Original von PG
wie meinst du, dass ich die schnitpunkte in abhängigkeit von a suchen soll?

Du sollst nicht auf die Idee kommen, a irgendeinen Wert zuzuweisen.

11.09.2006, 21:35

PG

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Also erst zum verständnis: a gibt an, an welcher stelle der Graph durch die x-achse durchgeht!?

So kommen wir nun zur aufgabe:

durch welches a ist die fläche des dreiecks ABC am größten?

das weiss ich nicht...

11.09.2006, 21:42

sqrt(2)

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Zitat:

Original von PG
Also erst zum verständnis: a gibt an, an welcher stelle der Graph durch die x-achse durchgeht!?

Ja.

Zitat:

Original von PG
durch welches a ist die fläche des dreiecks ABC am größten?

das weiss ich nicht...

Natürlich nicht. Du weißt ja noch nicht einmal, was B und C sind.

11.09.2006, 21:46

PG

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Zitat:

Original von sqrt(2)

Zitat:

Original von PG
durch welches a ist die fläche des dreiecks ABC am größten?

das weiss ich nicht...

Natürlich nicht. Du weißt ja noch nicht einmal, was B und C sind.

Ja genau das ist meine Frage traurig

traurig

was muss ich da machen, um so ein a zu bekommen, dass das Dreieck maximal wird... ich denke drüber nach und vermute, dass man für die Funktionen jeweils a einsetzt, ableitet und dann den Hochpunkt bestimmt oder irre ich mich da?

bitte helf mir, weil ich sooooo müde bin und ich wollte heute unbedingt um 10 uhr schlafen, da ich morgen wieder um 6 uhr aufstehen muss...

11.09.2006, 21:53

sqrt(2)

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Dann geh jetzt schlafen, viel Sinn hat das so nicht...

11.09.2006, 21:54

PG

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nein... ich brauch doch die aufgabe morgen.... unglücklich

unglücklich

edit: nach meinen berechnungen müsste a=5 sein.

11.09.2006, 22:13

sqrt(2)

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Zitat:

Original von PG
nein... ich brauch doch die aufgabe morgen.... unglücklich

unglücklich

Wird dir der Kopf abgerissen, wenn du mal nicht verstanden hast, wie etwas geht? Wozu macht man denn eigentlich Hausaufgabenbesprechungen? Wenn du so (mit 5 o) müde bist, Hochpunkte von Funktionen berechnen willst, die noch nicht einmal alle einen Hochpunkt haben, dann Hochpunkte (Punkte!) addieren möchtest und nicht mehr fähig bist, zwei Funktionswerte auszurechnen, um Schnittpunkte mit einer senkrechten Geraden zu erhalten, dann ergibt es mehr Sinn, dass du dich ausschläfst, um morgen im Unterricht mehr mitzukriegen, als dass ich hier noch vergeblich versuche, irgendetwas aus dir herauszusaugen.

Zitat:

Original von PG
edit: nach meinen berechnungen müsste a=5 sein.

Ist es aber nicht.

11.09.2006, 22:24

PG

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jetzt bin ich eh wach... jetzt ist es zu spät...

ich weiss, dass nur eine funktion einen hochpunkt hat,aber ich will die aufgabe lösen, weil es dann eine belohnung vom lehrer gibt( z.b. süssigkeiten) Big Laugh

Big Laugh

daher bitte erklär es mir- ich werde schon morgen aufwachen Augenzwinkern

Augenzwinkern

EDIT: achso ich soll die funktionswerte von D und B berechnen?

das ist doch einfach:
$\begin{eqnarray*} D(a/f(a)) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} B(a/g(a)) \end{eqnarray*}$

12.09.2006, 00:43

sqrt(2)

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Nicht D, sondern C, aber sonst ist das richtig. Du kannst dir dann ja anhand meines Plots oben ausdenken, wie du die Fläche des Dreiecks in Abhängigkeit von a ausdrücken kannst. Diese Funktion nach a kannst du dann maximieren.

12.09.2006, 17:45

PG

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Also ich würde es jetzt folgenderweise machen:

$\begin{eqnarray*} A(a,f(a),g(a))=\frac{a\cdot(f(a)-g(a))}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A(a)=\frac{a\cdot((0,25a^2-2a+4)+\frac{1}{16}a^2-0,5a-4)}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A(a)=\frac{a\cdot(\frac{5}{16}a^2-2,5a)}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A(a)=\frac{\frac{5}{16}a^3-2,5a^2}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A(a)=\frac{5a^3}{32}-\frac{2,5a^2}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A'(a)=\frac{15}{32}a^2-\frac{5}{2}a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_2=5\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ müsste das ergebnis sein ! ist es jetzt richtig??

12.09.2006, 17:51

sqrt(2)

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Ja.

Freude

12.09.2006, 18:36

PG

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noch ne letzte frage: muss man das so aufschreiben:

$\begin{eqnarray*} A(a,f(a),g(a))=\frac{a\cdot(f(a)-g(a))}{2} \end{eqnarray*}$

also das mit dem f(a) und g(a) in den klammern oder darf man das nicht??? und nur a allein darf da drin?

danke

12.09.2006, 18:50

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist so nicht wirklich falsch. a alleine würde aber auch reichen, mach was du willst (oder was dein Mathelehrer will, die haben ja manchmal recht komische Ansichten).

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