Übung zur Äquivalenzrelation

24.03.2009, 13:29

VinSander82

Übung zur Äquivalenzrelation

Moin,

Gegeben: $\begin{eqnarray*} M= \{1,2,3,4\} und K := \{ (A,B)\in P (M) \times P (M): \mid A \mid = \mid B \mid \} \end{eqnarray*}$

wie zeige ich , dass K eine Äquivalenzr. auf P(M) ist.

.reflexiv
.symmetrie
.transitiv

weiss was das bedeutet, aber wie kann ich das hierfür anwenden

vG vinni

24.03.2009, 13:30

tmo

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Formuliere doch mal die Relation K in Worten. Vielleicht hilft dir das zum Verständnis.

Warum K überhaupt eine Relation auf P(M) ist weißt du, oder?

Letztendlich ist der Beweis nur formaler Kram. Da stecker keinerlei Beweisidee dahinter.

24.03.2009, 13:45

VinSander82

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ganz ehrlich, es stehet zwar hier bei mir auf dem zettel : alle elemente von P(M) sind endlich und die gleichheitsrelation auf $\begin{eqnarray*} \mathbb N_{0} \end{eqnarray*}$ ein Äquivalenzrelation ist, aber ich versteh's nicht unglücklich

ich versuch mal K in worten zu fassen:

also die elemente A und B sind ebenfalls elemente aus der Verknüpfung von P(M) x P(M).

Die MENGE von A und B sind gleichmächtig, daher $\begin{eqnarray*} \mid A \mid =\mid B \mid \end{eqnarray*}$

24.03.2009, 13:47

VinSander82

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P.S. gibt es eine seite mit übungen und lösungen, wo ich diesbezüglich traineren kann?

ich denke das wäre sehr hilfreich Lehrer

24.03.2009, 14:17

Jacques

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Hallo,

M. E. hast Du die Definition falsch verstanden. Was meinst Du beispielsweise damit, A und B seien gleichmächtig? „A“ und „B“ sind doch einfach nur Variablen für Teilmengen von M, keine konkret festgelegten Mengen.

Gegeben ist die Menge

$\begin{eqnarray*} M := \{1, 2, 3, 4 \} \end{eqnarray*}$

Jetzt wird eine Relation K auf der Potenzmenge P(M) von M definiert. Dabei ist P(M) ja die Menge aller Teilmengen von M, also gilt beispielsweise

$\begin{eqnarray*} \mathcal{P}(M) \ni \{ 1, 2\}, \{1, 3, 4 \}, \varnothing, M \end{eqnarray*}$

K ist folgendermaßen definiert:

$\begin{eqnarray*} K := \{ (X, Y) \in \mathcal{P}(M)^2 \ |\ |X| = |Y| \} \end{eqnarray*}$

D. h., für zwei Mengen X und Y aus P(M) gilt X K Y genau dann, wenn X und Y gleichmächtig sind. Also gilt etwa

$\begin{eqnarray*} \{1, 2 \} \mathrel{K} \{ 1, 4\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \{2 \} \mathrel{K} \{4\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varnothing \mathrel{K} \varnothing \end{eqnarray*}$

aber z. B. gilt nicht

$\begin{eqnarray*} \{1 \} \mathrel{K} \{ 1, 3, 4\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \{1, 2 \} \mathrel{K} \varnothing \end{eqnarray*}$

Du sollst jetzt feststellen:

Ist die Relation reflexiv, d. h., ist jede Teilmenge von P(M) gleichmächtig zu sich selbst? Ist die Relation symmetrisch, d. h., ist die Relation K „richtungslos“, folgt aus |X| = |Y| immer |Y| = |X|? Und zuletzt: Überträgt sich die Gleichmächtigkeitsbeziehung von einer Menge zur anderen, d. h., folgt aus |X| = |Y| und |Y| = |Z| immer auch |X| = |Z|?

12.02.2010, 07:33

gas5456

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so?
Moin,

also ich beschäftige mich damit auch und mein Ding isses auch nicht so umbedingt:

Habe hier einen Lösungsvorschlag, wäre über Antworten dankbar:

$\begin{eqnarray*} M={1,2,3,4} \wedge K ={(A,B) \in P(M)² : |A| = |B|} \end{eqnarray*}$

zu Zeigen ist das diese Relation eine Äquivalenzrelation ist.
Im Einzelnen sind das folgende Dinge:

Reflexivität

Da |A| = |A| folgt das A K A also die Reflexivität

Symmetrie

Weil $\begin{eqnarray*} |A| = |B| \wedge |B| = |A| \end{eqnarray*}$ folgt zugleich A K B , also die Symmetrie.

Transitivität

Da $\begin{eqnarray*} |A| = |B| \wedge |B| = |C| \end{eqnarray*}$ folgt daraus, dass $\begin{eqnarray*} |A| = |C| \end{eqnarray*}$ ist und somit A K C also auch die Transitivität !

So ?

Gruß

12.02.2010, 10:28

wisili

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RE: so?

Zitat:

Original von gas5456
Symmetrie Weil $\begin{eqnarray*} |A| = |B| \wedge |B| = |A| \end{eqnarray*}$ folgt zugleich A K B , also die Symmetrie.
Transitivität Da $\begin{eqnarray*} |A| = |B| \wedge |B| = |C| \end{eqnarray*}$ folgt daraus, dass $\begin{eqnarray*} |A| = |C| \end{eqnarray*}$ ist und somit A K C also auch die Transitivität.

Im Prinzip ja, aber die Darstellung hat grobe Fehler. Besser wäre:

Symmetrie Weil aus $\begin{eqnarray*} |A| = |B| immer |B| = |A| \end{eqnarray*}$ folgt, gilt die Symmetrie.
Transitivität Da aus $\begin{eqnarray*} |A| = |B| \wedge |B| = |C| \end{eqnarray*}$ immer folgt, dass $\begin{eqnarray*} |A| = |C| \end{eqnarray*}$ , gilt auch die Transitivität.[/quote]

(D.h. letztlich gelten die 3 Eigenschaften für K, weil sie schon für die Gleichheits-Relation von natürlichen Zahlen gelten.)

12.02.2010, 12:53

gas5456

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RE: so?
Hi,

ah okay. Vielen Dank. Wollte meinem Vorposter natürlich nicht die Antwort wegnehmen, aber da das Ganze schon ein Jahr her ist

Gruß

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