Restglied Taylornpolynom

Neue Frage »

Hängemathe Auf diesen Beitrag antworten »
Restglied Taylornpolynom
Gesucht ist das Taylorpolynom 2. Grades sowie das Restglied auf dem gegebenen Intervall.





Zuerst bestimme ich die ersten beiden Ableitungen für das Polynom sowie die dritte für das Restglied.





Das Taylorpolynom ist demnach:



Das Restglied nach Definition nun:



bzw:

Nun meine Frage:

Ich möchte den betragsmäßig größten Fehler ermitteln, also soll mein obiger Term unter den Gegebenheiten maximal werden. Ergo setze ich , da x=0 oder den Term nicht so groß lassen werden würden wie erstgenannter Wert.

Setze ich für Epsilon jetzt auch ein, weil Epsilon zwischen x und liegen muss und demnach nur 0 oder sein kann (wegen des angegeben Intervalls und weil ist ?)
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Restglied Taylornpolynom


Approximiert man mit Taylor, so gilt:



Für das Restglied finden wir verschiedene Formeln. Zum Beispiel die von Lagragne:



Da man xi im Allgemeinen nicht kennt, hilft die Darstellung zur Fehlerabschätzung nicht weiter. Also untersucht man die Funktion



bzgl. maximaler Funktionswerte auf dem Interval [-0.1, 0.1]. Hier ergibt sich:



Nun kannst du entweder das exakte Maximum bestimmen, oder die Faktoren einzeln abschätzen. Das ist natürlich ungenauer.
 
 
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Warum darf man zur Bestimmung des Maximums des Restglieds einfach setzen?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Der Satz von Taylor besagt, dass es zu jedem x ein xi gibt, so dass man f an dieser Stelle als Summe von T und R darstellen kann. Und ich habe ja geschrieben, wo das xi liegt. Also kann man über das Intervall abschätzen.
Hängemathe Auf diesen Beitrag antworten »

Auf meine Frage wie ich mein Epsilon und mein X wähle - natürlich in Abhängigkeit vom gegebenen Intervall und vom gegebenen Näherungspunkt und ob die von mir angegebene Begründung der verwendeten Werte stimmt bist du jetzt aber nicht eingegangen verwirrt
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Im Grunde doch. Denn epsilon wählt man nicht. Ich habe dir doch geschrieben, wie man den Fehler abschätzen kann. Augenzwinkern In dem man das Restglied als Funktion betrachtet.





Hier liegen die Extremwerte am Rand, das muss aber nicht immer der Fall sein.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

@tigerbine
Das stimmt aber nicht. Wenn du maximierst, dann könnte die Maximalstelle eine solche sein, an der das Produkt der beiden Faktoren maximal wird, die Faktoren einzeln aber nicht maximal sind. Bei dem Term



kann es aber sein, dass und gerade so liegen, dass die beiden Faktoren jeweils maximal sind und dann kommt sicher ein größerer Wert raus als bei deiner Methode. Nur weil zwischen und liegt, kann man noch lange nicht durch abschätzen. Die -te Ableitung muss ja in keinem Falle monoton sein! Vielmehr sollte man wirklich immer beide Faktoren einzeln abschätzen.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Restglied Taylornpolynom
So ist es!

Zitat:
Original von Hängemathe
Das Restglied nach Definition nun:




Nein, hier noch ohne Betrag. Jetzt sollst du es abschätzen, und erst dann kommt der Betrag. Ich dachte, das hättest du langsam mal kapiert. Augenzwinkern


Zitat:
Original von Hängemathe



OK. Nun verwende so viele Betragsregeln wie möglich:





tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
@tigerbine
Das stimmt aber nicht.


Mmh... verstehe was du meinst. Muss mir dazu mal ein Gegenbeispiel überlegen. Danke. Wink
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Tipp: darf dabei nicht monoton sein. Für solche Funktionen stimmt deine Behauptung nämlich. Augenzwinkern

EDIT: Siehe MSS. Augenzwinkern
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Gegenbeispiel: auf mit Entwicklungspunkt Null und Taylorpolynom ersten Grades an der Stelle Eins. Das Taylorpolynom ersten Grades ist das Nullpolynom, der exakte Fehler zum Funktionswert ist also . Nun gilt und Maximieren der Funktion auf zeigt (z.B. mit AM-GM), dass das Maximum bei angenommen wird und beträgt, also sogar unter dem exakten Fehler liegt.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön, das war ja eine prompte Lieferung! Toll, dass auch indirekte Bestellungen angenommen werden. Wink
Hängemathe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
m Grunde doch. Denn epsilon wählt man nicht. Ich habe dir doch geschrieben, wie man den Fehler abschätzen kann. Augenzwinkern


Das verstehe ich nicht. Wozu finde ich dann in jedem Satz dass Epsilon zwischen x und dem Entwicklungspunkt liegen muss und immer die Differenzierung zwischen Epsilon und x, wenn Epsilon nicht variabel ist, sondern nach deiner Funktion genau x entspricht?

Hier ( Restgliedabschätzung (Taylor) ) habe ich doch auch ein verschiedenes x und Epsilon ???



Webfritzi, ist denn in meiner zweiten Zeile die Verwendung der Betragsstriche korrekt?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Lies das was die Jungs geschrieben haben. Ich meinte damit, dass das epsilon (xi) nur theoritisch von Bedeutung ist. Es gibt eine Stelle, wo die Gleichheit herrscht. Wo diese nun aber ist, weiß man i.A. nicht.

Daher schätzt man über das Intervall ab, so wie es MSS und WF gesagt haben. Wink
Hängemathe Auf diesen Beitrag antworten »

Ok,

bisher habe ich es so betrachtet. Es geht beim Restglied darum, die betragsmäßig größtmögliche Abweichung bzw. den größtmöglichen Fehler zu ermitteln.

Daher muss man abhängig vom Entwicklungspunkt und vom gegebenen Intervall die möglichen Werte einsetzen, die das Restglied möglichst groß werden lassen, damit ich dann den maximalen Fehler angeben kann ?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hängemathe
Daher muss man abhängig vom Entwicklungspunkt und vom gegebenen Intervall die möglichen Werte einsetzen, die das Restglied möglichst groß werden lassen, damit ich dann den maximalen Fehler angeben kann?


Nein. Wie oft soll ich es denn noch sagen... Es geht um den Betrag des Restgliedes. Den größtmöglichen kannst du dann mit Einsetzen bestimmen. Wähle dabei Epsilon und x unabhängig voneinenander so aus dem Intervall, dass die beiden Faktoren im Betrag des Restgliedes am größten werden.
Hängemathe Auf diesen Beitrag antworten »

In meinem originalen Posting steht doch dass ich das verstanden habe und es um den Betrag geht ! Und zwar im Satz über dem, den du zitiert hast!

Mit deinem zweiten Satz schreibst du doch nichts anderes als das was ich denke und das was ich noch mal wissen wollte.

Reden wir aneinander vorbei? Ich glaube schon.

Ich interpretiere das so dass wenn nach der größtmöglichen Abweichung gefragt ist oder ich zeigen soll das der Fehler kleiner ist als ein gegebener Wert, ich dann abhängig vom Intervall und vom Entwicklungspunkt den größtmöglichen Betrag des Restgliedes suche. Dabei wähle ich x und Epsilon so, dass der Betrag maximal wird. X muss hierbei natürlich ein Wert aus dem Intervall sein, Epsilon muss zwischen (diesem ?) x und dem Entwicklungspunkt liegen.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hängemathe
In meinem originalen Posting steht doch dass ich das verstanden habe und es um den Betrag geht ! Und zwar im Satz über dem, den du zitiert hast!


Und warum schreibst es dann so, als hättest du es immernoch nicht verstanden? Weißt du, hier gibt es sehr viele, die irgendwann behaupten, etwas verstanden zu haben. Aber wenn man mal nachhakt, offenbart sich das Gegenteil.


Zitat:
Original von Hängemathe
Mit deinem zweiten Satz schreibst du doch nichts anderes als das was ich denke und das was ich noch mal wissen wollte.


Richtig. So war das auch gemeint. Augenzwinkern


Zitat:
Original von Hängemathe
Reden wir aneinander vorbei? Ich glaube schon.


Nein, ich glaube nicht. Augenzwinkern


Zitat:
Original von Hängemathe
Ich interpretiere das so dass wenn nach der größtmöglichen Abweichung gefragt ist oder ich zeigen soll das der Fehler kleiner ist als ein gegebener Wert, ich dann abhängig vom Intervall und vom Entwicklungspunkt den größtmöglichen Betrag des Restgliedes suche.


Genauso ist es und nicht anders. smile


Zitat:
Original von Hängemathe
Dabei wähle ich x und Epsilon so, dass der Betrag maximal wird. X muss hierbei natürlich ein Wert aus dem Intervall sein, Epsilon muss zwischen (diesem ?) x und dem Entwicklungspunkt liegen.


Nein, das ist wieder nicht ganz richtig. Es könnte ja ein anderes x geben, so dass der zweite Betrag zwar nicht so groß wird wie bei deinem gewählten x, aber der andere Betrag viel, viel größer als der von deinem gewählten Epsilon, so dass du als Ergebnis ein größeres Produkt rausbekommst. Hoffe, du kannst mir folgen. Wenn nicht: Ich hatte doch geschrieben: unabhängig voneinander. Du solltest schon genauer lesen. Das heißt, du wählst x aus dem Intervall, so dass der zweite Betrag am größten wird und ein Epsilon aus dem Intervall (unabhängig von dem gewählten x), so dass der erste Betrag am größten wird.
Hängemathe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Zitat:
Original von Hängemathe
In meinem originalen Posting steht doch dass ich das verstanden habe und es um den Betrag geht ! Und zwar im Satz über dem, den du zitiert hast!


Und warum schreibst es dann so, als hättest du es immernoch nicht verstanden? Weißt du, hier gibt es sehr viele, die irgendwann behaupten, etwas verstanden zu haben. Aber wenn man mal nachhakt, offenbart sich das Gegenteil.




Zitat:
Original von Hängemathe
Dabei wähle ich x und Epsilon so, dass der Betrag maximal wird. X muss hierbei natürlich ein Wert aus dem Intervall sein, Epsilon muss zwischen (diesem ?) x und dem Entwicklungspunkt liegen.


Nein, das ist wieder nicht ganz richtig. Es könnte ja ein anderes x geben, so dass der zweite Betrag zwar nicht so groß wird wie bei deinem gewählten x, aber der andere Betrag viel, viel größer als der von deinem gewählten Epsilon, so dass du als Ergebnis ein größeres Produkt rausbekommst. Hoffe, du kannst mir folgen. Wenn nicht: Ich hatte doch geschrieben: unabhängig voneinander. Du solltest schon genauer lesen. Das heißt, du wählst x aus dem Intervall, so dass der zweite Betrag am größten wird und ein Epsilon aus dem Intervall (unabhängig von dem gewählten x), so dass der erste Betrag am größten wird.


Also zu Punkt 1 kann ich nur sagen, dass ich ja im Satz davo vom Betrag sprach. Hier fehlt mir dann wohl noch die akribische Korrektheit der Mathematik, das dann auch so weiter fortzuführen :-)

Zu Punkt 2:

Ich habe ja einmal den Betrag der durch das variable X maximal werden kann, sowie den Betrag der durch das Epsilon maximal werden kann - soweit klar. Bezieht sich dein nicht ganz richtig auf meine Vermutung es müsse zwischen "diesem X" (welches den zweiten Betrag maximal werden lässt" und dem Entwicklungspunkt liegen? Ich verstehe auf jeden Fall worauf du mit deinem letzten Absatz hinaus willst.

Ich wähle beide völlig unabhängig voneinander. Jetzt nur meine letzte Frage: Wieso sagt mein Skript dass Epsilon zwischen x und dem Entwicklungspunkt liegen muss? Wieso nicht einfach dass Epsilon ein Element aus dem Intervall ist?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hängemathe
Bezieht sich dein nicht ganz richtig auf meine Vermutung es müsse zwischen "diesem X" (welches den zweiten Betrag maximal werden lässt" und dem Entwicklungspunkt liegen?


Exakt. Wie du allerdings beim Tippen ')' und '"' vertauschen kannst, ist mir ein Rätsel. Augenzwinkern


Zitat:
Original von Hängemathe
Jetzt nur meine letzte Frage: Wieso sagt mein Skript dass Epsilon zwischen x und dem Entwicklungspunkt liegen muss? Wieso nicht einfach dass Epsilon ein Element aus dem Intervall ist?


Weil das erste genauer ist.
Hängemathe Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist mir allerdings auch nicht klar. Das macht mir Angst Big Laugh
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »