Kurvendiskussion mit e-Funktion

12.09.2006, 11:04

Ria

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Kurvendiskussion mit e-Funktion

ich hab das prob, dass ich bald eine klausur schreibe, aber bei bestimmten dingen noch probs habe... funktionsdiskussionen sind ja weniger das problem, selbst, wenn es um die e-funktion und die ln-funktion geht... aber das problem ist, wenn die spezieller werden, dann bekomme ich die folgenden punkte nicht mehr richtig hin:
symmetrie (geht noch)
grenzwertbestimmung, v.a. r-lim und l-lim (erklärung!!!)
nullstellen und schnittpunkte (geht auch noch, sollte aber erklärt werden!)
ableitungen
extremstellen inkl. notw. so wie hinr. Bedingung
wendestellen inkl. notw. und hinr. Bedingung

ich weiß, dass das viel ist, aber das sollte ich bis nächste woche können... bitte helft mir da...

beispiele für solche speziellen funktionen sind:

$\begin{eqnarray*} e^x; x=-\frac{1}{4}x^4 \end{eqnarray*}$ !!! setzt das x bei $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ ein... der formeleditor wollte mir das ganze nicht in den exponenten schreiben... :/

$\begin{eqnarray*} \frac{ln(x^2)}{x} \end{eqnarray*}$

ich komme bei den funktionen auf keinen grünen zweig... und solche werden nicht nur klausurrelevant sein...

12.09.2006, 11:16

klarsoweit

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RE: Hilfe... Klausur steht an...

Zitat:

Original von Ria
beispiele für solche speziellen funktionen sind:

$\begin{eqnarray*} e^x; x=-\frac{1}{4}x^4 \end{eqnarray*}$ !!! setzt das x bei $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ ein... der formeleditor wollte mir das ganze nicht in den exponenten schreiben... :/

Meinst du diese Funktion?:
$\begin{eqnarray*} f(x) = e^{-\frac{1}{4}x^4} \end{eqnarray*}$
Wenn ja, schildere dein konkretes Problem.

12.09.2006, 11:32

Ria

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wir sollten dazu als hausaufgabe eine kurvendiskussion machen, was für mich auch soweit kein problem wäre, aber ich hatte zunächst probleme mit den ableitungen... die habe ich in derzwischenzeit mal aufgestellt, weiß aber nicht, ob die richtig sind:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=-4x^3e^{-\frac{1}{4}x^4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=(-x^6-3x^2)e^{-\frac{1}{4}x^4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x)=(x^9-3x^5-6x)e^{-\frac{1}{4}x^4} \end{eqnarray*}$

wenn die richtig sind, habe ich da wenigstens schonmal eine sicherheit... dann ist die sache mit dem r-lim und dem l-lim... kann mir jemand erklären, warum man da nicht einfach lim schreibt, oder hat das was damit zu tun, ob man $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} e^{-\frac{1}{4}x^4} \end{eqnarray*}$
oder ob man
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} e^{-\frac{1}{4}x^4} \end{eqnarray*}$
schreibt?
ich hab das mit dieser art von limes noch nicht wirklich verstanden... :/

EDIT: Latex korrigiert (klarsoweit)

12.09.2006, 11:37

klarsoweit

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Schauen wir erstmal, daß die Ableitungen Stimmen.
In der 1. Ableitung ist eine 4 zuviel.
In der 2. Ableitung ist ein Vorzeichenfehler und deswegen stimmt die 3. Ableitung auch nicht.

12.09.2006, 11:57

Ria

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kannst du mir mal sagen, wie du es schaffst, die e-funktion so hinzuschreiben, dass alles was in den exponent gehört, auch da oben steht und nicht halb/halb... würd mich wirklich interessieren... und wieso ist die vier in der ersten ableitung zuviel?

12.09.2006, 12:12

irre.flexiv

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Mit geschweiften Klammern : \lim_{x \to 0} e^{-\frac{1}{4}x^4}

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12.09.2006, 12:13

Ria

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danke^^

12.09.2006, 12:20

Bjoern1982

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Zitat:

und wieso ist die vier in der ersten ableitung zuviel?

Die Ableitung der inneren Funktion $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{4}x^4 \end{eqnarray*}$ ist eben $\begin{eqnarray*} -x^3 \end{eqnarray*}$

Und diese wird zum "Rest" multipliziert (siehe Kettenregel)

Gruß Björn

12.09.2006, 12:42

Ria

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sry... die funktion lautete eigentlich so:

$\begin{eqnarray*} f(x)=4e^{-\frac{1}{4}x^4} \end{eqnarray*}$

sind dann die oben genannten ableitungen korrekt?

kann mir dann auch jemand den r-lim und den l-lim erklären?

12.09.2006, 12:54

derkoch

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1. ableitung stimmt doch die 2. ist schon falsch!
3. ist auch falsch.

12.09.2006, 12:59

Ria

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achso^^

die zweite ableitung müsste so aussehen:

$\begin{eqnarray*} f''(x)=(x^6-3x^2)e^{-\frac{1}{4}x^4} \end{eqnarray*}$

stimmt das jetzt so?

12.09.2006, 13:02

klarsoweit

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Zitat:

Original von Ria
sry... die funktion lautete eigentlich so:

$\begin{eqnarray*} f(x)=4e^{-\frac{1}{4}x^4} \end{eqnarray*}$

2. Ableitung ist falsch, wenn das die richtige Funktion ist.

12.09.2006, 13:05

derkoch

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nein!
bitte nicht raten! schreib dir sauber hin was u und was v ist! danach sauber ableiten!

12.09.2006, 13:08

Ria

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und die dritte wäre dann:

$\begin{eqnarray*} f'''(x)=(-x^9+9x^5-6x)e^{-\frac{1}{4}x^4} \end{eqnarray*}$

12.09.2006, 13:11

klarsoweit

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unglücklich

Vielleicht solltest du erstmal zusehen, daß die 2. Ableitung stimmt.

12.09.2006, 13:34

Marleen

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Um von der ersten Ableitung zur zweiten Ableitung zu gehen, sind die Gleichungen der Produktregel:

$\begin{eqnarray*} u(x)=-4x^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u'(x)=-12x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v(x)=e^{-\frac{1}{4} x^4 } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v'(x)=-x^3e^{-\frac{1}{4} x^4 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' \end{eqnarray*}$

12.09.2006, 13:39

Ria

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ich hab das jetzt mal auf die weise gemacht und habe mir das aufgeschrieben....
jetzt werde ich von der ausgangsfunktion bis zur zweiten ableitung jeden schritt aufschreiben...

$\begin{eqnarray*} f(x)=4*e^{-\frac{1}{4}x^4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k=4;u=e^x;v=-\frac{1}{4}x^4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=k*u'(v)*v' \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =>f'(x)=4*e^{-\frac{1}{4}x^4}*(-x^3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <=>f'(x)=-4x^3*e^{-\frac{1}{4}x^4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=-4x^3;v=e^x;w=-\frac{1}{4}x^4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=u'*v(w)+u*v'(w)*w' \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =>f''(x)=-12x^2*e^{-\frac{1}{4}x^4}-4x^3*e^{-\frac{1}{}x^4}*(-x^3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <=>f''(x)=-12x^2*e^{-\frac{1}{4}x^4}+4x^6*e^{-\frac{1}{4}x^4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <=>f''(x)=(x^6-12x^2)*e^{\frac{1}{4}x^4} \end{eqnarray*}$

ist in diesem gedankengang jetzt noch ein fehler? ich finde keine veränderung... :/

12.09.2006, 13:42

Ria

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du hättest mir nicht vorgreifen brauchen, aber danke... die regeln sind weniger das problem... die kenne ich... nur die auf die komplizierteren funktionen anzuwenden ist das problem...

12.09.2006, 13:47

Marleen

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zum Schluss lässt du die 4 weg.

$\begin{eqnarray*} =>f''(x)=-12x^2*e^{-\frac{1}{4}x^4}-4x^3*e^{-\frac{1}{4}x^4}*(-x^3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <=>f''(x)=-12x^2*e^{-\frac{1}{4}x^4}+4x^6*e^{-\frac{1}{4}x^4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <=>f''(x)=(4x^6-12x^2)*e^{-\frac{1}{4}x^4} \end{eqnarray*}$

12.09.2006, 18:06

Ria

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danke... sonst scheint es richtig zu sein... dann auf zur dritten...

$\begin{eqnarray*} u=(4x^6-12x^2);v=e^x;w=-\frac{1}{4}x^4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x)=u'*v(w)+u*v'(w)*v' \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =>f'''(x)=(24x^5-24x)*e^{-\frac{1}{4}x^4}+(4x^6-12x^2)*e^{-\frac{1}{4}x^4}*(-x^3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <=>f'''(x)=(24x^5-24x)*e^{-\frac{1}{4}x^4}+(-4x^9+12x^5)*e^{-\frac{1}{4}x^4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <=>f'''(x)=(-4x^9+36x^5-24x)*e^{-\frac{1}{4}x^4} \end{eqnarray*}$

stimmt das so?
(endlich schule aus für heute^^)

12.09.2006, 18:14

Bjoern1982

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Jawoll

Freude

Gruß Björn

12.09.2006, 18:18

Ria

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kann mir denn jetzt noch jemand sagen, was r-lim und l-lim ist? warum schreibt man nicht einfach lim? :/

12.09.2006, 18:20

zt

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Es wird eben zwischen links- und rechtsseitigem Limes unterschieben.
Siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Limes_(Mathematik)

12.09.2006, 18:22

zweiundvierzig

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Man unterscheidet zwischen links- und rechtsseiteigem Grenzwert.

Z.B.:

Für $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0}f(x) \end{eqnarray*}$ existieren $\begin{eqnarray*} \lim_{x<0}f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x>0}f(x) \end{eqnarray*}$

12.09.2006, 18:25

Bjoern1982

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Manchmal ist es z.B. bei gebrochenrationalen Funktionen interessant zu untersuchen wie sich der Graph einer solchen Funktion an einer Definitionslücke verhält - sowohl wenn er von der rechten Seite auf diese Stelle zuläuft, als auch wenn er von links darauf zuläuft.

Stichwort Polstelle mit oder ohne Vorzeichenwechsel

Gruß Björn

12.09.2006, 18:27

Ria

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und $\begin{eqnarray*} \lim_{x<o} f(x) \end{eqnarray*}$ wäre dann der linksseitige limes?

12.09.2006, 18:28

Bjoern1982

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Ja

12.09.2006, 18:32

Ria

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hm... und wie "berechne" ich dann den l- bzw. r-lim von der gegebenen funktion?

$\begin{eqnarray*} \l-lim_{x \to -\infty} 4e^{-\frac{1}{4}x^4} \end{eqnarray*}$

wenn das so richtig geschrieben ist...

EDIT1: kann oder will mir da keiner helfen?

EDIT2: ich werde mich morgen wieder hier zeigen... vielleicht habe ich das dann selber raus und schreibe es dann hier rein...

Posts zusammengefügt (klarsoweit)

13.09.2006, 08:22

klarsoweit

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Zitat:

Original von Ria
hm... und wie "berechne" ich dann den l- bzw. r-lim von der gegebenen funktion?

$\begin{eqnarray*} \l-lim_{x \to -\infty} 4e^{-\frac{1}{4}x^4} \end{eqnarray*}$

wenn das so richtig geschrieben ist...

Beim Limes für x gegen minus oder plus unendlich gibt es keinen links- oder rechtsseitigen Grenzwert. Du kannst also nur
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty} 4e^{-\frac{1}{4}x^4} \end{eqnarray*}$
berechnen.
Überlege, wohin der Exponent geht, wenn x gegen minus unendlich läuft. Wie verhält sich da die e-Funktion?

13.09.2006, 09:43

Ria

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dann soll mit mal jemand erklären, wie der r- bzw. der l-lim geschrieben wird... danach frag ich nebenbei schon seit gestern nachmittag...

13.09.2006, 09:50

klarsoweit

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Etwas ungnädig heute morgen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Da fehlt mir jetzt der passende Latexcode. Möglich wäre sowas:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0, x>0} 4e^{-\frac{1}{4}x^4} \end{eqnarray*}$
für einen rechtsseitigen Limes.

Rechtsseitiger Limes bedeutet, daß man nur von rechts an die jeweilige Stelle herangeht. Rechtsseitiger Limes bedeutet nicht der Grenzwert an der "rechten Seite" des Definitionsbereichs, falls du möglicherweise sowas darunter verstanden hast.

13.09.2006, 10:02

Ria

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nein, jetzt habe ich das verstanden^^ das einzige problem ist nur, wie erkenne ich, ob das 0 ergibt, oder $\begin{eqnarray*} +/-\infty \end{eqnarray*}$ oder eine bestimmte zahl... einfach nur einsetzen? tut mir leid, wenn ich etwas gereizt klang^^

13.09.2006, 10:11

klarsoweit

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Na ja. Einsetzen ist etwas schwierig, da man mit unendlich nicht "gut" rechnen kann. In der Regel nutzt man bekannte Eigenschaften. Z.B. weiß man, daß f(x) = x^n mit geradem n gegen unendlich geht für x gegen plus oder minus unendlich. Damit kannst du also sagen, wohin der Exponent geht. Als nächstes brauchst du eine Grenzwerteigenschaft der e-Funktion, nämlich:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \end{eqnarray*}$

13.09.2006, 10:33

Ria

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mal angenommen, ich kenne gewisse eigenschaften nicht, könnte ich dann statt unendlich eine hohe zahl wie z.b. 100 oder 1000 einsetzen?

13.09.2006, 10:37

klarsoweit

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Um einen Anhaltspunkt zu bekommen, ja. Aber einen Beweis ersetzt das nicht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.09.2006, 10:43

Ria

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und wie beweise ich denn, dass das so ist?

13.09.2006, 11:01

klarsoweit

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Das ist in diesem Fall eigentlich kein großer Akt. Da geht es mehr darum, das formal richtig hinzuschreiben.
Es geht also im wesentlichen um:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty} e^{-\frac{1}{4}x^4} \end{eqnarray*}$

Jetzt substituieren wir $\begin{eqnarray*} y = \frac{1}{4}x^4 \end{eqnarray*}$
Da y jede beliebige Schranke für x gegen -unendlich nach oben überschreitet, gilt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty} e^{-\frac{1}{4}x^4} = \lim_{y \to \infty} e^{-y} = 0 \end{eqnarray*}$

Das ist eigentlich keine Zauberei.

13.09.2006, 11:16

Ria

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aso^^
wenn ich eine beliebig hohe zahl einsetze, bekomme ich folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} e^{-\frac{1}{4}x^4}=0 \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} 4e^{1\frac{1}{4}1000^4} = 4 \frac{1}{e^{\frac{1}{4}1000^4}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty} e^{-\frac{1}{4}-\infty^4}=0 \end{eqnarray*}$ , weil
$\begin{eqnarray*} 4e^{-\frac{1}{4}(-1000)^4} = 4\frac{1}{e^{\frac{1}{4}(-1000)^4}} \end{eqnarray*}$

stimmt das?

13.09.2006, 11:25

klarsoweit

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Auch wenn die Grenzwerte als solche richtig sind, kann man die Begründungen mit konkreten Zahlen so nicht gelten lassen. Wie gesagt: mit konkreten Zahlen bekommt man Anhaltspunkte, aber keinen Beweis.

In meinem Beitrag davor steht doch schon alles, wie man das beweisen könnte.

13.09.2006, 11:31

Ria

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Zitat:

Original von klarsoweit
Das ist in diesem Fall eigentlich kein großer Akt. Da geht es mehr darum, das formal richtig hinzuschreiben.
Es geht also im wesentlichen um:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty} e^{-\frac{1}{4}x^4} \end{eqnarray*}$

Jetzt substituieren wir $\begin{eqnarray*} y = \frac{1}{4}x^4 \end{eqnarray*}$
Da y jede beliebige Schranke für x gegen -unendlich nach oben überschreitet, gilt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty} e^{-\frac{1}{4}x^4} = \lim_{y \to \infty} e^{-y} = 0 \end{eqnarray*}$

Das ist eigentlich keine Zauberei.

dann erklär mir mal, was passiert, wenn du für y $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ einsetzen würdest...

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