Tripel (a,b,c) wo 0<a<b<c und abc = 4(a + b + c)

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pablo94 Auf diesen Beitrag antworten »
Tripel (a,b,c) wo 0<a<b<c und abc = 4(a + b + c)
Hallo,
ich wäre euch dankbar, wenn ihr mir helfen könntet

Die genaue aufgabenstellung lautet:

Finde alle Tripel (a,b,c) mit folgenden beiden Eigenschaften:
a) es gilt 0<a<b<c
b) In einem Quader mit der Länge a cm, der Breite b cm und der Höhe c cm beträgt die Summe der Kantenlängen ebenso viele Zentimeter wie das Volumen Kubikzentimeter beträgt.

daraus habe ich wie gesagt schon abgeleitet:
abc = 4(a + b + c) oder abc/4 = a + b + c

Aber, da ich nicht weiß ob es viele sind, soll ich einfach versuchen alle zu finden, oder habe ich etwas übersehen was mir dabei helfen könnte, alle Tripel zu finden? Danke im vorraus
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Da es nur eine Gleichung, aber 3 Unbekannte gibt, kannst du zwei davon - unter den gegebenen Voraussetzungen - beliebig wählen und daraus die dritte berechnen. Somit setzen wir

a = r
b = s
--------
setzen dies in die Gleichung ein:
rsc = 4r + 4s + 4c

und berechnen daraus c. Es gelten nun alle Lösungen unter der Voraussetzung 0 < r < s < c.

mY+
 
 
pablo94 Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar, hab gar nicht so einfach gedacht, vielen dank^^
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht ist ja auch nur nach den ganzzahligen Lösungstripeln (a,b,c) gesucht - das würde die Sache etwas interessanter machen. Augenzwinkern
pablo94 Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt geschockt sorry, hab wohl bei der genauen aufgabenstellung nach dem "Tripel (a, b, c) das "natürliche Zahlen" vergessen, tut mir leid.

hab z.b. jetzt a= 2; b = 3; c = 10
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

smile
pablo94 Auf diesen Beitrag antworten »

allerdings habe ich keine idee, wie ich die suche einschränken könnte bis auf aufeinanderfolgende a und b bei a = 500 und b= 501 geht es z.B. nicht, da sie zu groß sind => alle größeren gehen nicht.

dann müsste ich allerdings ausprobieren bis zu welcher zahl das mit den aufeinanderfolgenden geht und dann hätte ich es auch nur für b= a + 1
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, wie gesagt, das ist schon etwas kniffliger. Zur Orientierung:

Es gibt insgesamt 5 Lösungstripel - eins davon hast du mit (2,3,10) ja schon gefunden. Augenzwinkern

Übrigens bewegen wir uns mit dieser Aufgabe aus dem Bereich Analysis (und Geometrie sowieso) hinaus - es ist eher elementare Zahlentheorie. Außerdem tippe ich mal, dass das keine normale Schulaufgabe ist: Sie ist zwar elementar lösbar, aber eher von der Art Wettbewerbsaufgabe.
pablo94 Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab jetzt 5 lösungen raus:

1; 5 ; 24
1; 6; 14
1; 8; 9
2; 3; 10
2; 4; 6


aber ich hab sie eher durch testen raus
(außer bei 1;5; 24 und 1;8; 9)

bei 1;5; 24 hab ich mir gedacht dass die c's sich so subtrahieren, dass 1 c übrigbleibt und (4* 1 + 4* 5 )ist ja sowieso eine natürliche Zahl

bei 1;8; 9 war es so, dass ja 4 c's übrigbleiben, also wird es auf jeden fall gehen, denn bei (4*1 + 4 * 8) /4 kommt ja eine ganze zahl raus

(ich hoffe ihr konntet mir folgen) aber auch wenn ich die ergebnisse betrachte, sehe ich keinen richtigen zusammenhang
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Das schwierige ist ja auch der Nachweis, dass es nur diese 5 sind:

ergibt mit multipliziert und umgestellt


.

Das sieht zwar im ersten Moment komplizierter aus als die Originalgleichung, ist aber zahlentheoretisch viel besser zugänglich. Als nächstes folgt eine Fallunterscheidung

1.Fall:

2.Fall:

3.Fall:

mit deren näherer Untersuchung man alle Lösungstripel finden kann.
pablo94 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du auf die 16, ich seh das gerade i-wie nicht, sorry.

edit:

soll dass eine art "nahrhafte Null" sein (mir fällt die genaue bezeichnung dafür nicht ein)
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das ist sie, für die Faktorisierung in der nachfolgenden Zeile.
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