rg(A), ker(f)

26.03.2009, 13:49

congo.hoango

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rg(A), ker(f)

Es sei $\begin{eqnarray*} V=R^3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} {e_1,e_2,e_3} \end{eqnarray*}$ eine Basis des $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$ . Für ein fest gewähltes a aus R sei $\begin{eqnarray*} f:V->V \end{eqnarray*}$ die durch

$\begin{eqnarray*} f(e_1)=(1,a^2,a),f(e_2)=(a,1,a^2),f(e_3)=(a^2,a,1) \end{eqnarray*}$

definierte lineare Abbildung.

1. Bestimmen Sie die Abbiildungsmatrix A der Matrix $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

Hab ich gemacht:

A = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & a & a^2 \\ a^2 & 1 & a \\ a & a^2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

2. Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} rg(A) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ker(f) \end{eqnarray*}$

So...hier fängts an. Wie komme ich auf den Rang? Also wenn $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ ist, dann ist der Rang 3...aber weiter komm ich auch nicht.

26.03.2009, 13:59

Mathespezialschüler

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Dir wird sicher bekannt sein, dass man den Rang einer Matrix bestimmen kann, indem man sie mit Gauß in Zeilenstufenform bringt. Ob dabei Zahlen oder Variablen auftauchen, ist unerheblich, man muss bei Variablen nur auf mögliche Spezialfälle achten.

Eine andere Möglichkeit wäre die Berechnung der Determinante und anschließend das Lösen der Gleichung $\begin{eqnarray*} \det A=0 \end{eqnarray*}$ . Dabei bekommst du spezielle Werte für $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , die gesondert zu überprüfen sind, bei allen anderen Werten ist der Rang jedoch sicher welcher?

26.03.2009, 14:07

congo.hoango

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Ja das ist mir bekannt...problematisch ist nur immer, dass wir die Charakteristik von K beachten sollen...also dürfen wir nicht einfach so durch a teilen. Da bringt mir ja die Zeilenstufenform recht wenig, oder?

Und bei der Determinantenberechnung komm ich auf: $\begin{eqnarray*} det(A)=a^6-2a^3+1 \end{eqnarray*}$ .
Und nu? Wie komme ich am besten auf die Werte a für die $\begin{eqnarray*} a^6-2a^3+1=0 \end{eqnarray*}$ gilt?

26.03.2009, 14:11

Ehos

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Setze a^3=x. Dan hast du ne quadratische Gleichung für x.

26.03.2009, 14:20

congo.hoango

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Ok, da komm ich auf $\begin{eqnarray*} (x-1)^2=0 \end{eqnarray*}$ , sprich x = 1 und somit a = 1. Was sagt das dann über den Rang aus? (Sorry, aber hab das bisher immer nur über die Zeilenstufenform gemacht...)

26.03.2009, 14:25

Mathespezialschüler

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Für $\begin{eqnarray*} a\neq 1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \det A\neq 0 \end{eqnarray*}$ . Was bedeutet dies?

Was du übrigens mit Beachten der Charakteristik meinst, ist mir unklar. In der Aufgabe ist doch eindeutig von $\begin{eqnarray*} V=\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ die Rede.

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26.03.2009, 14:27

Ehos

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Setze nun a=1 in deine Matrix A ein. Dann entsteht eine Matrix, die nur Einsen enthält. Ohne Rechnung kann man also sagen: Der Rang ist 1, weil allle Zeilen gleich sind.

Nun betrachte das lineare Gleichungssystem Ax=0. Durch reines Probieren kann man zwei Lösungsvektoren angeben x1=(1|-1|0) und x2=(1|0|-1). Diese sind natürlich nicht eindeutig, denn alle Linaekombinationen dieser Vektoren sind wieder Lösung und bilden insgesamt den Kern. Der Kern ist also ein 2-dimensionaler Vektorraum.

26.03.2009, 14:47

congo.hoango

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Für $\begin{eqnarray*} a\neq 1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \det A\neq 0 \end{eqnarray*}$ . Was bedeutet dies?

Na dann ist A doch regulär und der Rang = 3 oder?

Zitat:

Was du übrigens mit Beachten der Charakteristik meinst, ist mir unklar. In der Aufgabe ist doch eindeutig von $\begin{eqnarray*} V=\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ die Rede.

Wir haben bei den Hausaufgaben immer Punkte abgezogen bekommen wenn wir in Körpern, in denen nichts über die Charakteristik ausgesagt wird, durch eine Zahl geteilt haben, ohne gesondert nochmal den Fall zu betrachten, wenn dieser Wert die Charakteristik ist.

26.03.2009, 16:30

congo.hoango

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Und wie ist das mit dem Kern?

Für a=1 habe ich geschlussfolgert:
$\begin{eqnarray*} ker(A)= x_1(1,-1,0) + x_2(1,0,-1) \end{eqnarray*}$ .

Ist das richtig? Und was kann ich zum Kern für a ungleich 1 sagen?

26.03.2009, 16:46

WebFritzi

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Zitat:

Original von congo.hoango
Ok, da komm ich auf $\begin{eqnarray*} (x-1)^2=0 \end{eqnarray*}$ , sprich x = 1 und somit a = 1.

Was im Allgemeinen falsch ist. Nimm z.B. einen Körper mit Charakteristik 7. Dann ist (1+1)³ = 1. Auch der erste Schluss (dass x = 1 sein muss) ist im Allgemeinen falsch. Nimm dir z.B. einen Körper der Charakteristik 4. Dann ist (1+1)² = 0. Also könnte x = 1 + 1 + 1 oder x = 1 sein.

26.03.2009, 17:03

congo.hoango

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Zitat:

Original von WebFritzi
Was im Allgemeinen falsch ist. Nimm z.B. einen Körper mit Charakteristik 7. Dann ist (1+1)³ = 1. Auch der erste Schluss (dass x = 1 sein muss) ist im Allgemeinen falsch.

Und wie komme ich dann auf die richtige Lösung?

Zitat:

Nimm dir z.B. einen Körper der Charakteristik 4. Dann ist (1+1)² = 0. Also könnte x = 1 + 1 + 1 oder x = 1 sein.

Ich dachte die Charakteristik muss immer eine Primzahl sein!?

26.03.2009, 17:13

WebFritzi

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Zitat:

Original von congo.hoango

Zitat:

Nimm dir z.B. einen Körper der Charakteristik 4. Dann ist (1+1)² = 0. Also könnte x = 1 + 1 + 1 oder x = 1 sein.

Ich dachte die Charakteristik muss immer eine Primzahl sein!?

Wo steht das?

http://de.wikipedia.org/wiki/Charakteristik_(Mathematik)

Wie wäre es, wenn du dich selber mal informierst... Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.03.2009, 18:08

congo.hoango

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Zitat:

Original von WebFritzi
Wie wäre es, wenn du dich selber mal informierst... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dachte das Studium sei eine sichere Quelle Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.03.2009, 19:20

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von congo.hoango
Ich dachte die Charakteristik muss immer eine Primzahl sein!?

Wo steht das?

Zum Beispiel in deinem Link. Die Charakteristik eines Integritätsrings ist immer Null oder eine Primzahl, insbesondere gilt das auch für Körper.

26.03.2009, 19:56

congo.hoango

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Aber zurück zum Thema: Kann mir jemand beim Kern weiterhelfen? (s. o.)

26.03.2009, 23:18

TommyAngelo

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Zitat:

Original von congo.hoango
Und wie ist das mit dem Kern?

Für a=1 habe ich geschlussfolgert:
$\begin{eqnarray*} ker(A)= x_1(1,-1,0) + x_2(1,0,-1) \end{eqnarray*}$ .

Ist das richtig? Und was kann ich zum Kern für a ungleich 1 sagen?

Jo schon, machs lieber mit $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ statt mit x_1 und x_2. Sieht einfach besser aus.

Für a ungleich 1 ist rg(A)=3, die Matrix hat vollen Rang. Was bedeutet das für die Spaltenvektoren in Bezug auf ihre Abhängigkeit?

27.03.2009, 06:07

WebFritzi

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Zitat:

Original von TommyAngelo

Zitat:

Original von congo.hoango
Und wie ist das mit dem Kern?

Für a=1 habe ich geschlussfolgert:
$\begin{eqnarray*} ker(A)= x_1(1,-1,0) + x_2(1,0,-1) \end{eqnarray*}$ .

Ist das richtig? Und was kann ich zum Kern für a ungleich 1 sagen?

Jo schon, machs lieber mit $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ statt mit x_1 und x_2. Sieht einfach besser aus.

Das ist doch ziemlich egal. Vielmehr vermisse ich die korrekte Mengenschreibweise. So ist es jedenfalls Unsinn.

@MSS: Du hast sicher recht. Bin jetzt aber zu besopen, um mir das genauer anzuschauen. Jedenfalls finde ich die Seite eh nicht so dolle, weil da öfter n oder p steht und dabei nicht gesagt wird, aus welcher Menge die jetzt kommen. Ist p immer eine Primzahl, oder wie?

27.03.2009, 09:00

Ehos

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Um den Kern zu bekommen, setzt du die Lösung a=1 in die Matrix A ein und erhälst eine Matrix, die als Matrixelemente nur Einsen enthält. Mit anderen Worten: Alle n Zeilen der Matrix sind identisch. Da es im Prinzip also nur eine Zeile gibt, ist Rang(A)=1.

Dann löste du das homogene Gleichungssystem Ax=0, welches wegen n=3 genau n-Rang(A)=2 linear unabhängige Lösungsvektoren x1 und x2 besitzt, deren Linearkombinationen wiederum Lösungen von Ax=0 sind. Die Lösungen x1 und x2 sind also nicht eindeutig. Die Lösung von Ax=0 ist also ein 2D-Vektorraum. Dieser Vektorraum ist laut Definition der Kern. Finde also zwei Lösungen x1 und x2 von Ax=0.

Da die Matrix A so einfach ist, brauchst du gar nicht den Gausschen Algorithmus zu bemühen, sondern kannst die Löungen von Ax=0 durch "Erraten" leicht finden.

27.03.2009, 11:50

congo.hoango

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Zitat:

Original von TommyAngelo
Für a ungleich 1 ist rg(A)=3, die Matrix hat vollen Rang. Was bedeutet das für die Spaltenvektoren in Bezug auf ihre Abhängigkeit?

Na, alle drei sind linear unabhängig...heißt das, es gibt keinen Kern?

27.03.2009, 12:05

Ehos

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Der Kern ist laut Definition die Menge derjenigen Vektoren x, die vermöge der Abbildung Ax auf den Nullvektor abgebildet werden.

Da die Matrix A bei a<>1 den vollen Rang hat, wird in diesem Fall nur der Nullvektor auf den Nullvektor abgebildet. Der Kern besteht dann also nur aus dem Nullvektor.

27.03.2009, 12:08

congo.hoango

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Aaaahhh, ok, super vielen Dank...nun versteh ichs smile

smile

Nochmals tausend dank euch!!

27.03.2009, 13:40

WebFritzi

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Wenn ihr meint, meine Beiträge ignorieren zu müssen... Bitte. Immerzu. Keiner hindert euch daran, die Aufgabe falsch zu lösen.

Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von congo.hoango
Ok, da komm ich auf $\begin{eqnarray*} (x-1)^2=0 \end{eqnarray*}$ , sprich x = 1 und somit a = 1.

Was im Allgemeinen falsch ist. Nimm z.B. einen Körper mit Charakteristik 7. Dann ist (1+1)³ = 1.

27.03.2009, 14:39

Reksilat

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Zur Klärung: In der Aufgabe war von den reellen Zahlen die Rede und diese haben die Charakteristik 0, $\begin{eqnarray*} x^3-1=0 \end{eqnarray*}$ hat nur eine Lösung.

Das heißt, dass congo.hoango sich hier keine weiteren Gedanken über andere mögliche Charakteristiken machen muss, wohingegen WebFritzi die Aufgabe jetzt noch für Körper mit beliebiger Charakteristik löst. Big Laugh

Big Laugh

27.03.2009, 14:49

Ehos

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Die Aufgabe wurde doch vollständig gelöst. Ich weiß nicht, was Web-Fritzi da noch zu rechnen will...

Historie:

Wir haben zuerst die Gleichung det(A)=0 aufgestellt, welche lautete (a^3-1)^2=0 odereinfacher a^3=1. Daraus folgten zwei Fälle:

Fall 1:
Die komplexe Lösung a=exp(i*120°) führt auf ein komplexes homogenes Gleichungssystem Ax=0, das aber verworfen werden muss, weil wir uns laut Aufgabenstellung ausdrücklich im reellen Raum R3 aufhalten.

Fall 2:
Die reelle Lösung a=1 führte uns auf ein reellen homogenen Gleichungssystem Ax=0, wobei A den Rang 1 hatte. Also hat der Lösungsraum (=Kern) die Dimension 2. Dieser Lösungsraum wurde berechnet.

Mehr kann man dazu einfach nicht sagen.

27.03.2009, 20:31

WebFritzi

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Zitat:

Original von Reksilat
wohingegen WebFritzi die Aufgabe jetzt noch für Körper mit beliebiger Charakteristik löst. Big Laugh

Big Laugh

Was ich löse, bestimme ich selber. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von congo.hoango
problematisch ist nur immer, dass wir die Charakteristik von K beachten sollen...

Daran habe ich mich aufgehängt. Aber wenn tatsächlich $\begin{eqnarray*} R = \mathbb R \end{eqnarray*}$ gelten sollte (was ziemlich wahrscheinlich der Fall ist), hast du natürlich recht.

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