Givens Rotation

26.03.2009, 15:13

pingu

Givens Rotation

Hallo zusammen,

ich hab da ne Frage bzgl der Givens Rotation. Und zwar hab ich folgende Matrix gegeben: $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 3 & 7 & 1 \\ 0 & 6 & 2 \\ -4 & 4 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich weiss, dass folgendes gilt: $\begin{eqnarray*} R=Q^T_{23}Q^T_{13}Q^T_{12}A \end{eqnarray*}$ (hier schon mal die Frage, wieso genau diese Abfolge?) und ich weiss, dass man eine Abbildung so machen muss, dass etwas 0 ergibt. Nun ist mir jetzt beispielsweise hier nicht klar, welches Element denn 0 werden muss?

Nehmen wir doch mal den Fall $\begin{eqnarray*} Q^T_{23} \end{eqnarray*}$ . Hier gilt:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos\phi & sin\phi \\ 0 & -sin\phi & cos\phi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 7 & 1 \\ 0 & 6 & 2 \\ -4 & 4 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Welche Elemente sind nun gleich 0?

26.03.2009, 18:31

tigerbine

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RE: Givens Rotation
Hier mal ein Beispiel:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} A^{(1)}=\begin{pmatrix} 1&5&4 \\ -2&1&3 \\ 2&0&-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p=\sqrt{a_{11}^2+a_{21}^2} = \sqrt{1^2+(-2)^2} = \sqrt{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c = \frac{1}{\sqrt{5}},~s=-\frac{2}{\sqrt{5}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G_{21} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}} & - \frac{2}{\sqrt{5}} & 0 \\ \frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} & 0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und damit:

$\begin{eqnarray*} A^{(1)}= \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}} & - \frac{2}{\sqrt{5}} & 0 \\ \frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} & 0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&5&4 \\ -2&1&3 \\ 2&0&-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sqrt{5} & \frac{3}{\sqrt{5}}& -\frac{2}{\sqrt{5}} \\0 & \frac{11}{\sqrt{5}}& \frac{11}{\sqrt{5}} \\ 2&0 &-2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

*********************************************************

$\begin{eqnarray*} p = \sqrt{(\sqrt{5})^2+2^2} = 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c =\frac{\sqrt{5}}{3} ,~s=\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G_{31} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{5}}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 1 & 0 \\ -\frac{2}{3}&0&\frac{\sqrt{5}}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und damit:

$\begin{eqnarray*} A^{(2)} &&= \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{5}}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 1 & 0 \\ -\frac{2}{3}&0&\frac{\sqrt{5}}{3} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sqrt{5} & \frac{3}{\sqrt{5}}& -\frac{2}{\sqrt{5}} \\0 & \frac{11}{\sqrt{5}}& \frac{11}{\sqrt{5}} \\ 2&0 &-2\end{pmatrix} \\&& = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -2 \\ 0 & \frac{11}{\sqrt{5}}& \frac{11}{\sqrt{5}} \\ 0 & -\frac{2}{\sqrt{5}} & -\frac{2}{\sqrt{5}} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

*********************************************************

$\begin{eqnarray*} p = \sqrt{(\frac{11}{\sqrt{5}})^2+(-\frac{2}{\sqrt{5}})^2} = 5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c=\frac{11}{5\sqrt{5}},~s=-\frac{2}{5\sqrt{5}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G_{32} = \begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&\frac{11}{5\sqrt{5}} &-\frac{2}{5\sqrt{5}} \\ 0&\frac{2}{5\sqrt{5}} &\frac{11}{5\sqrt{5}} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A^{(3)} &&=\begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&\frac{11}{5\sqrt{5}} &-\frac{2}{5\sqrt{5}} \\ 0&\frac{2}{5\sqrt{5}} &\frac{11}{5\sqrt{5}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 & -2 \\ 0 & \frac{11}{\sqrt{5}}& \frac{11}{\sqrt{5}} \\ 0 & -\frac{2}{\sqrt{5}} & -\frac{2}{\sqrt{5}} \end{pmatrix} \\&&=\begin{pmatrix} 3&1&-2 \\ 0&5 &5 \\ 0&0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

*********************************************************

Somit ist die volle QR-Zerlegung fertig und wir erhalten:

$\begin{eqnarray*} R = \begin{pmatrix} 3&1&-2 \\ 0&5 &5 \\ 0&0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Q^{-1} = G_{32}G_{31}G_{21} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Q &&=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}} & 0 \\ -\frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} & 0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{5}}{3} & 0 & -\frac{2}{3} \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac{2}{3}&0&\frac{\sqrt{5}}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&\frac{11}{5\sqrt{5}} &\frac{2}{5\sqrt{5}} \\ 0&-\frac{2}{5\sqrt{5}} &\frac{11}{5\sqrt{5}} \end{pmatrix} \\ && = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{14}{15} & -\frac{2}{15} \\ -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} & -\frac{2}{15} & \frac{11}{15} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Es ist also:

$\begin{eqnarray*} A=QR \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 1&5&4 \\ -2&1&3 \\ 2&0&-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{14}{15} & -\frac{2}{15} \\ -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} & -\frac{2}{15} & \frac{11}{15} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3&1&-2 \\ 0&5 &5 \\ 0&0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

26.03.2009, 18:56

pingu

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RE: Givens Rotation
Alles klar, bestens - Vielen Dank smile

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