Lösungsmenge eines inhomogenen Gleichungssystems

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Olleg89 Auf diesen Beitrag antworten »
Lösungsmenge eines inhomogenen Gleichungssystems
Hallo,

ich habe folgende Matrix



Und den Vektor



Dazu soll ich jetzt die Lösungsmenge angeben. Wenn ich das umschreibe und mich nicht verrechnet habe, bekomme ich folgendes heraus:

c=2d+2e

Jetzt weiß ich nicht, wie ich das als Lösungsmenge darstellen soll. Kann mir da jemand helfen?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du die Matrix genauer untersuchst, wirst du bemerken, dass deren 2. Zeile die Summe der 1. und 3. Zeile ist. Somit gibt es nur zwei linear unabhängige Zeilen (Zeilenrang = 2; dasselbe gilt auch für den Spaltenrang).

Daher kannst du 3 der 5 Variablen mit beliebigen Parametern (r, s, t) belegen, damit die restlichen 2 Variablen berechnen und letztendlich die Lösungsmenge bestimmen. Diese besteht aus unendlich vielen Lösungen, d.s. jeweils 5 Zahlen in einer Reihe (5-Tupeln).

Setze d = r, e = s und b = t
Daraus ist c = 2r + 2s (wie es dein Teilergebnis auch richtig zeigt) und zuletzt folgt daraus noch a.

Schreibe dann die Lösung in diesen Parametern wie oben beschrieben als Anordnung von 5 Termen.

mY+
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösungsmenge eines inhomogenen Gleichungssystems
Zitat:
Original von Olleg89
c=2d+2e


Also:

mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso? Die Lösungsmenge ist doch nur 3-parametrig, denn Rang (A) = 2. Somit hängt noch eine der drei Variablen: Entweder a von b, d, e oder b von a, d, e ab.

mY+
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

mYthos hat recht. Die Webfritz-Lösung kann aus genannten Gründen nicht stimmen.

Bekanntlich ist die allgemeine Lösung eines linearen Gleichungssystems die Summe aus einer (nicht eindeutigen) Lösung des inhomogenen Systems und der Lösung des homogenen Systems. Eine Lösung des inhomogenen Systems ist z.B.

(1|0|0|0|0)_____(1)

Die Lösung des homogenen Systems ist ein Vektorraum der Dimension 5-2=3, denn der Rang der Koeffizientenmatrix war 2. Wir haben also 3 freie Parameter c, d, e hat. Eine mögliche Darstellung der homogenen Lösung ist

(-2c-2e|-2d|2c+2d+2e|c+d|e)_____(2)

Die Summe aus (1) und (2) ist wie gesagt die allgemeine Lösung.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte nur Ollegs "Lösung" als Span aufgeschrieben, mehr nicht. Augenzwinkern
 
 
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