Jordannormalform

27.03.2009, 11:38

C-3PO

Jordannormalform

Hallo,

ich habe zwei Fragen zur Jordannormalform und zwar nehmen wir mal an eine 4x4 Matrix habe den 4-fachen Eigenwert 2, jetzt gibt es ja verschiedene Fälle,

1) Angenommen man findet 3 Eigenvektoren, ist das dann egal wo die 1 steht, also sind z.B.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

beide richtig?

2) Angenommen man findet 2 Eigenvektoren, wann ist dann welche Jordanform die richtige?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Danke für Antworten.

27.03.2009, 13:54

Reksilat

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Hi C-3PO,

Zu 1):
Die Jordansche Normalform ist nur bis auf Ähnlichkeitstransformation eindeutig und somit ist es egal, welche Matrix Du nimmst, da beide mit
$\begin{eqnarray*} T=\begin{pmatrix}0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
ineinander überführt werden können.

$\begin{eqnarray*} M_1=T^{-1}M_2T \end{eqnarray*}$

Zu 2)
Diese Matrizen sind nicht ähnlich, da sonst auch $\begin{eqnarray*} M_1-2E \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M_2-2E \end{eqnarray*}$ ähnlich sein müssten. Man sieht jedoch, dass $\begin{eqnarray*} (M_2-2E)^2=0 \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} (M_1-2E)^2\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist.
Willst Du wissen, welche JNF zu Deiner Ausgangsmatrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ gehört, musst Du einfach $\begin{eqnarray*} (A-2E)^2 \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Gruß,
Reksilat.

Die gegebenen Matrizen habe ich jeweils mit M1 bzw. M2 bezeichnet; E ist die Einheitsmatrix.

28.03.2009, 18:54

C-3PO

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Hi,
erst einmal danke für die Antwort smile

, ich glaube ich habe das soweit verstanden. Ich habe dann noch eine Frage. Wenn ich jetzt bei 2) nur zwei Eigenvektoren gefunden habe, dann gibt es ja noch 2 Hauptvektoren. Für einen Hauptvektor 2. Stufe (v) muss doch gelten

$\begin{eqnarray*} (A-2E)^{2} v=0 \end{eqnarray*}$ also muss $\begin{eqnarray*} A-2E \end{eqnarray*}$ diesen Hauptvektor in den Eigenraum, der von den 2 Eigenvektoren aufgespannt wird abbilden?
Bekomme ich dann den Hauptvektor, indem ich

$\begin{eqnarray*} (A-2E) v= \end{eqnarray*}$ a*(Eigenvektor 1) +b (Eigenvektor 2) nehme? Und kann ich dann daran auch irgendwie sehen, welche Jordanform die richtige ist? Also ich würd mal so vermuten, dass bei $\begin{eqnarray*} M_{1} \end{eqnarray*}$ die beiden Hauptvektoren irgendwie zu einem Eigenvektor gehören und bei $\begin{eqnarray*} M_{2} \end{eqnarray*}$ jeweils 1 Hauptvektor zu einem Eigenvektor, oder ist das Quatsch? Und sind die Hauptvektoren dann immer 2. Stufe oder kann es auch einen 2. und einen 3. Stufe geben?

Liebe Grüße

28.03.2009, 19:40

Reksilat

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Zitat:

Original von C-3PO
Also ich würd mal so vermuten, dass bei $\begin{eqnarray*} M_{1} \end{eqnarray*}$ die beiden Hauptvektoren irgendwie zu einem Eigenvektor gehören und bei $\begin{eqnarray*} M_{2} \end{eqnarray*}$ jeweils 1 Hauptvektor zu einem Eigenvektor, oder ist das Quatsch?

Nö, stimmt schon so.

Zitat:

Und sind die Hauptvektoren dann immer 2. Stufe oder kann es auch einen 2. und einen 3. Stufe geben?

Kann man sich leicht anschauen: Für $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ gibt es einen Hauptvektor 3.Stufe, nämlich $\begin{eqnarray*} (0,1,0,0) \end{eqnarray*}$ , und einen 3.Stufe, nämlich $\begin{eqnarray*} (0,0,1,0) \end{eqnarray*}$ . Muss ja auch so sein, denn $\begin{eqnarray*} (M_1-2E)^2\neq 0 \end{eqnarray*}$
Dagegen ist $\begin{eqnarray*} (M_2-2E)^2=0 \end{eqnarray*}$ und somit kann es nur Hauptvektoren 2.Stufe geben. Diese wären dann eben $\begin{eqnarray*} (0,1,0,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (0,0,0,1) \end{eqnarray*}$ .

Zur Berechnung der Hauptvektoren von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ würde ich aber eher den Kern von $\begin{eqnarray*} (A-2E)^2 \end{eqnarray*}$ berechnen, das ist ja kein so großer Aufwand. Bei Deinem Ansatz sehe ich irgendwie nicht, was a und b sein sollen, geht aber sicher auch irgendwie.

Gruß,
Reksilat.

29.03.2009, 14:32

C-3PO

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Hi Reksilat,
ich habe soweit alles verstanden was du geschrieben hast, vielen Dank : )).
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 , 0 ,1,0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist der Hauptvektor 3. Stufe und wird durch $\begin{eqnarray*} (M_{1}-2E) \end{eqnarray*}$ auf den Hauptvektor 2. Stufe $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0,1,0,0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ abgebildetn, dieser wiederum wird mittels $\begin{eqnarray*} (M_{1}-2E) \end{eqnarray*}$ auf den einen Eigenvektor abgebildet. Der andere Eigenvektor hat keine Hauptvektor. Bei $\begin{eqnarray*} M_{2} \end{eqnarray*}$ wird jeweils ein Hauptvektor 2. Stufe auf einen Eigenvektor abgebildet.

Mit dem a, b meinte ich nur eine Linearkombination der Eigenvektoren, da der Hauptvektor 2. Stufe ja in den Eigenraum abgebildet wird.

Seh ich das denn richtig, dass jeder Eigen/Haupt vektor n-ter Stufe nur einen Hauptvektor n+1 Stufe haben kann?
Also wäre das Vorgehen so richtig, sagen wir mal eine 6x6 Matrix A, ich schaue und finde 3 Eigenvektoren zum Eigenwert 2, bilde dann $\begin{eqnarray*} (A-2E)^{2} \end{eqnarray*}$ und sehe der Kern ist 5. dimensional also hat ein Eigenvektor keinen Hauptvektor , einer einen 2. Stufe und einer einen 2. und 3. Stufe. Dann hätte ich ein Jordankästchen der Länge 1, eins der Länge 2 und eins der Länge 3 die ich anordnen kann wie ich möchte.

Wenn ich jetzt die zugehörige Tranasfomationsmatrix möchte, muss diese Kette ganz oben ja wahrscheinlich exakt funktionieren also ich kann jetzt nicht einfach die Eigenvektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2,0,0,3 \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} 4,0,0,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ nehmen obwohl das ja prinzipiell welche sind und die Hauptvektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0,1,0,0 \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} 0,0,1,0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Würd man das dann so machen ich nehme erst mal irgendwelche 2 Eigenvektoren, dann bilde ich wieder den Kern von $\begin{eqnarray*} (A-2E)^{2} \end{eqnarray*}$ und schaue welche "Richtungen" im Kern hinzugekommen sind nehm das als Hauptvektornen 2. Strufe usw. bis ich für jeden Eigenvektor den größten Hauptvektor habe dann würd ich ausgehend z.B. oben bei der 6x6 Matrix vom Hauptvektor 3. Stufe den richtigen 2. Stufe durch Anwenden von $\begin{eqnarray*} (A-2E) \end{eqnarray*}$ auf den 3. Stufe bekommen und dann nochmals den richigen Eigenvektor. Und wenn die Kästchen der Jordanfrom die Längen 1, 2 und 3 haben müsste ich vertikal EV, EV, HV2 , EV , HV2, HV3 (Eigenvektor, Hauptvektor) für die Transformationsmatrix nehmen? Ich wüsst jetzt nur nicht wie ich bei komplizierten Beispielen das was beim Kern von z.B.
$\begin{eqnarray*} (A-2E)^{3} \end{eqnarray*}$ im Gegensatz zu $\begin{eqnarray*} (A-2E)^{2} \end{eqnarray*}$ hinzugekommen ist, herausbekommen könnteum den Hauptvektor 3. Stufe zu finden. Ist den die Vorgehensweise so im Pronzip richtig.

LG C-3PO

29.03.2009, 19:42

Reksilat

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Hi C-3PO,

Zitat:

Seh ich das denn richtig, dass jeder Eigen/Haupt vektor n-ter Stufe nur einen Hauptvektor n+1 Stufe haben kann?
Also wäre das Vorgehen so richtig, sagen wir mal eine 6x6 Matrix A, ich schaue und finde 3 Eigenvektoren zum Eigenwert 2, bilde dann $\begin{eqnarray*} (A-2E)^{2} \end{eqnarray*}$ und sehe der Kern ist 5. dimensional also hat ein Eigenvektor keinen Hauptvektor , einer einen 2. Stufe und einer einen 2. und 3. Stufe. Dann hätte ich ein Jordankästchen der Länge 1, eins der Länge 2 und eins der Länge 3 die ich anordnen kann wie ich möchte.

Soweit richtig. Jedenfalls kann in einer Basis zu einem Eigenvektor auch nur ein Hauptvektor 2. Stufe gehören. Siehe auch zum letzten Kommentar ganz unten.

Zitat:

Wenn ich jetzt die zugehörige Tranasfomationsmatrix möchte, muss diese Kette ganz oben ja wahrscheinlich exakt funktionieren also ich kann jetzt nicht einfach die Eigenvektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2,0,0,3 \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} 4,0,0,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ nehmen obwohl das ja prinzipiell welche sind und die Hauptvektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0,1,0,0 \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} 0,0,1,0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Wie kommst Du auf diese Vektoren? Von welcher Matrix redest Du hier?

Zitat:

Würd man das dann so machen ich nehme erst mal irgendwelche 2 Eigenvektoren, dann bilde ich wieder den Kern von $\begin{eqnarray*} (A-2E)^{2} \end{eqnarray*}$ und schaue welche "Richtungen" im Kern hinzugekommen sind nehm das als Hauptvektornen 2. Strufe usw. bis ich für jeden Eigenvektor den größten Hauptvektor habe dann würd ich ausgehend z.B. oben bei der 6x6 Matrix vom Hauptvektor 3. Stufe den richtigen 2. Stufe durch Anwenden von $\begin{eqnarray*} (A-2E) \end{eqnarray*}$ auf den 3. Stufe bekommen und dann nochmals den richigen Eigenvektor. Und wenn die Kästchen der Jordanfrom die Längen 1, 2 und 3 haben müsste ich vertikal EV, EV, HV2 , EV , HV2, HV3 (Eigenvektor, Hauptvektor) für die Transformationsmatrix nehmen?

Etwas schwer verständlich, aber im großen und ganzen richtig.
Tipp1: Bitte Satzzeichen verwenden
Tipp2: Bei Wikipedia ist das auch noch mal erklärt. Plus Beipiel.

Zitat:

Ich wüsst jetzt nur nicht wie ich bei komplizierten Beispielen das was beim Kern von z.B.
$\begin{eqnarray*} (A-2E)^{3} \end{eqnarray*}$ im Gegensatz zu $\begin{eqnarray*} (A-2E)^{2} \end{eqnarray*}$ hinzugekommen ist, herausbekommen könnte, um den Hauptvektor 3. Stufe zu finden.

Das ist nicht so schwer, denn der Kern von $\begin{eqnarray*} (A-2E)^{3} \end{eqnarray*}$ ist ja größer, als der von $\begin{eqnarray*} (A-2E)^{2} \end{eqnarray*}$ . Du musst Dir also nur einen beliebigen(!) Vektor aus $\begin{eqnarray*} {\rm Ker} (A-2E)^{3}\backslash {\rm Ker}(A-2E)^2 \end{eqnarray*}$ nehmen. Der Trick ist ja, dass mit Deinen Bezeichnungen zum Beispiel auch HV2+x*EV ein Hauptvektor zweiter Stufe ist, oder analog HV3+x*HV2+y*EV ein Hauptvektor dritter Stufe. Zu einer Matrix gibt es eben nicht nur genau eine Transformation zur Jordanschen Normalform sondern mehrere.

Gruß,
Reksilat.

30.03.2009, 18:13

C-3PO

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Hi Reksilat,
danke für deine Mühe, ich habe glaub ich soweit jetzt alles verstanden, bei Wikipedia das werde ich mir noch mal genau anschauen, wenn ich dann noch Fragen habe melde ich mich nochmal.

Zitat:

Wie kommst Du auf diese Vektoren? Von welcher Matrix redest Du hier?

Bei der einen Matrix waren ja $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1,0,0,0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0,0,0,1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Eigenvektoren zum Eigenwert 2, aber die sind doch nicht eindeutig. Die Vektoren, die ich oben geschrieben hatte wären doch auch richtig. Deshalb war mir das nicht ganz klar, hab ich jedoch jetzt verstanden.
LG C-3PO

30.03.2009, 18:18

Reksilat

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Na dann ist ja alles klar smile

Gruß,
Reksilat.

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