Fläche berechnen

31.03.2009, 12:33

enmi

Fläche berechnen

hallo,

folgende aufgabe soll gelöst werden:

kurve $\begin{eqnarray*} k:y=ax^{4} +bx^{2} +c \end{eqnarray*}$ hat den wendepunkt W (-2/0)

die fläche zwischen kurve und x-achse sowie den grenzen x1=-2 und x2=0 beträgt 2,133333...

gesucht ist die funktionsgleichung.

mein ansatz:

y''=12ax² + 2b

0 =12ax² + 2b (x=-2)
0 = 48a + 2b

deshalb ist b = -24a (was hilft mir das?) verwirrt

A= $\begin{eqnarray*} \int_{-2}^{0}~y~dx \end{eqnarray*}$

2,133...= $\begin{eqnarray*} \int_{-2}^{0}~ax^{4} +bx^{2} +c~dx \end{eqnarray*}$

bin ich auf dem richtigen weg?
wie geht's weiter?

danke für eure hilfe

sg
enmi

31.03.2009, 12:37

Airblader

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RE: Fläche berechnen

Zitat:

Original von enmi
deshalb ist b = -24a (was hilft mir das?) verwirrt

Das hilft dir, dass du b nun in Abhängigkeit von a darstellen kannst. Wüsstest du also a, dann hättest du auch sofort b.

Dein nächster Schritt stimmt auch. Bilde die Stammfunktion und wende den Hauptsatz an (Stammfkt. von oberer Grenze minus Stammfkt. von unterer Grenze). Damit hast du eine weitere Gleichung.

Ich würde aber $\begin{eqnarray*} 2,13\ldots = \frac{32}{15} \end{eqnarray*}$ schreiben - gibt vermutlich schönere Ergebnisse. Augenzwinkern

Zu guter letzt beachte, dass du den Wendepunkt W(-2/0) gegeben hast. Du kennst also einen Funktionswert der Funktion. Das gibt dir die dritte nötige Bedingung.

Du hast also letztlich 3 Unbekannte in 3 Gleichungen -> lösen.

air

31.03.2009, 12:39

123Hans

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Du musst drei Gleichungen finden.

1) $\begin{eqnarray*} 0 = 48a + 2b \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} x = -2 \end{eqnarray*}$ ist Wendepunkt)

2) $\begin{eqnarray*} (-2 |0) \end{eqnarray*}$ ist ein Punkt auf der Funktion $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ .

3) Die Fläche zwischen -2 und 0 beträgt 2,133. => $\begin{eqnarray*} \int_{-2}^0 ax^4+bx^2+c \;dx = \frac{a}{5}x^5 + \frac{b}{3} x^3 + cx \mid_{-2}^0 = ... = 2,13333 \end{eqnarray*}$

31.03.2009, 14:11

mYthos

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Besser statt 2,133333... schreiben wir $\begin{eqnarray*} \frac{64}{30} \end{eqnarray*}$ .

mY+

31.03.2009, 14:29

Airblader

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Zitat:

Original von mYthos
Besser statt 2,133333... schreiben wir $\begin{eqnarray*} \frac{64}{30} \end{eqnarray*}$ .

mY+

Da ich das selbe schrieb, nur, dass du mit Zwei erweitert hast, frage ich mich gerade - warum verwirrt

air

31.03.2009, 20:52

enmi

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vielen dank erstmal für die vielen antworten.

habe nun gemäß den hinweisen 3 gleichungen erhalten:

I: 48a + 2b = 0
II: 16a + 4b + c = 0
III: -32a -40b -30c = 32

erhalte als lösungen:

a = -1/46
b = 12/23
c = -40/23

kann das stimmen?

besten dank für eure hilfe

lg
enmi

31.03.2009, 22:27

Alex-Peter

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stimmt !

31.03.2009, 22:32

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Airblader
...
Da ich das selbe schrieb, nur, dass du mit Zwei erweitert hast, frage ich mich gerade - warum verwirrt

air

Uuups, das habe ich erstens gar nicht gesehen und zweitens noch auf das Kürzen vergessen, Teufel

auch! Sorry!

mY+

01.04.2009, 09:23

enmi

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hallo,

da bin ich wieder Wink

meine lösungen von vorhin stimmen glaube ich doch nicht... unglücklich

hab das ganze nochmals durchgerechnet und erhalte nun folgende gleichungen:

16a + 4b + c = 0
48a + 2b = 0
-96a -40b -30c = 32

das ergibt für

a = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

b = $\begin{eqnarray*} \frac{-1}{48} \end{eqnarray*}$

c = $\begin{eqnarray*} \frac{7}{3} \end{eqnarray*}$

irgendwie scheint mir aber auch diese lösung nicht richtig...

habe die erhaltene funktion integriert und die fläche von -2 bis 0 berechnet. die fläche beträgt 5,86666... sollte aber 2,13333... betragen. irgendwo steckt ein fehler. (wenn b= -1/2 dann sollte es stimmen, aber weshalb ist b= -1/2)

könnte mir bitte jemand weiterhelfen.

danke
sg
enmi

01.04.2009, 10:52

Alex-Peter

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Lösungswerte von gestern stimmen, auf die 3 Gleichungen bezogen.
Deine Lösungen von heute sind nicht richtig.

von heute: a = -1/48 ; b = 1/2 ; c = -5/3 .

Aber auf deine eigentliche Aufgabe bezogen liegst du falsch.

01.04.2009, 11:51

enmi

Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die rasche rückmeldung.

bezogen auf die gleichungen von gestern

I: 48a + 2b = 0
II: 16a + 4b + c = 0
III: -32a -40b -30c = 32

stimmen die lösungen:

a = -1/46
b = 12/23
c = -40/23

aber ich habe mich bei der 3. gleichung verrechnet:

I: 48a + 2b = 0
II: 16a + 4b + c = 0
III: -96a -40b -30c = 32

das ergibt die neuen lösungen (die aber leider nicht stimmen)

deshalb meine frage: was habe ich falsch gemacht?
a = -1/48 ; b = 1/2 ; c = -5/3 (kann das wirklich stimmen?)

habe die gleichung mit
a = +1/48 ; b = -1/2 ; c = +5/3
durchgerechnet und erhalte die richtige fläche 2,1333.... FE

vielen dank im voraus für eure hilfe

sg
enmi

01.04.2009, 12:09

Alex-Peter

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Jetzt stimmt's
Jetzt stimmt's !

01.04.2009, 13:46

enmi

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RE: Jetzt stimmt's
hallo,

danke für deine mühe (den graphen habe ich ebenfalls erstellt).

ABER:

dass die gleichung mit
a = +1/48 ; b = -1/2 ; c = +5/3
die richtige fläche 2,1333.... FE ergibt wusste ich bereits.

was ich immer noch nicht weiss, ist wie ich auf diese lösungen komme? verwirrt

meine lösungen lauten ja:

a = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

b = $\begin{eqnarray*} \frac{-1}{48} \end{eqnarray*}$

c = $\begin{eqnarray*} \frac{7}{3} \end{eqnarray*}$

die sind aber NICHT richtig!!!! und ich kann den fehler nicht finden traurig

wie komme ich auf
a = +1/48 ; b = -1/2 ; c = +5/3 verwirrt

das ist die frage

danke für eure hilfe

sg
enmi

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