Münzwurf auf Karos

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GG Auf diesen Beitrag antworten »
Münzwurf auf Karos
Hallo, ich hab Schwierigkeiten die Wahrscheinlichkeit dieses Zufallsexperimentes zu bestimmen:

Lars und Maria planen für das Schulfest ein Glücksspiel zur Aufbesserung der Schullandheimkasse. Jeder Spieler darf 1-Euro-Münzen auf ein kariertes Spielfeld werfen. Die Seitenlänge des Karos sind doppelt so groß wie der Durchmesser einer 1-Euro-Münze. Wenn die Münze keine Linie des Spielfeldes schneidet, soll der Spieler n Euro zurückerhalten . Andernfalls ist sein Einsatz verloren. Wie groß sollte n höchstens gewählt werden, damit ein Zuschuss für die Klassenkasse zu erwarten ist?

Meine Überlegung:

Die Wahrscheinlichkeit ist fair, weil es so oder so unendlich viele Positionen gibt Aber ich bin mir überhaupt nicht sicher...
Weiß jemand, ob das stimmt?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Münzwurf auf Karos
Man soll vermutlich annehmen, dass der Mittelpunkt der geworfenen Münze innerhalb eines Karos (= Quadrat) gleichverteilt ist. Ob das realistisch ist, sei mal dahingestellt.
Wenn man das annimmt, ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich ider Mittelpunkt in einer bestimmten Teilfläche des Karos befindet, proportional zu dieser Teilfläche. Jetzt musst du nur noch bestimmen, in welcher Teilfläche sich der Mittelpunkt der Münze befinden muss, damit diese den Rand nicht schneidet.
BarneyG. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Jetzt musst du nur noch bestimmen, in welcher Teilfläche sich der Mittelpunkt der Münze befinden muss, damit diese den Rand nicht schneidet.


So ist die Aufgabe vermutlich gemeint. Aber auch ich habe da einige Bauchschmerzen!

Denn diese Lösung wäre nur gültig, wenn es sich um ein unendlich großes Spielfeld handelt und die Verteilung der Würfe gleichmäßig wäre. Das ist aber keine realistische Annahme.

Tatsächlich ist das Spielfeld endlich ... und dann können doch z.B. Münzen auch außerhalb des Spielfeldes landen. Gibt es dafür auch einen Gewinn? Big Laugh

Nun gut, Würfe die außerhalb landen, verbessern dann wohl die Klassenkasse erst recht. Aber das lässt sich nur sehr schwer fassen. Alles in allem keine sehr gelungene Aufgabenstellung!
planck1885 Auf diesen Beitrag antworten »

Für welche Klassenstufe ist diese Aufgabe wenn ich fragen darf?
GG Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin 10. Klasse...

Es gibt keine Regel, was passiert, wenn die Münze nicht im Spielfeld landet^^

Zitat:
Huggy
Man soll vermutlich annehmen,...

Du hast bestimmt recht! Dadrauf muss man auch erst mal kommen^^
GG Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, neuer Versuch:

Es passen genau 4 Münzen rein. Die 4 Münzen berühren den Rand aber an 6 Stellen. Also können nur 3 Münzen in ein Karo reinpassen. Dann wäre die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze keine Linie berührt, 1/3
Das Gegenereignis ist dann 1-1/3=2/3, dass die Münze auf eine Linie fällt.

...
 
 
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist nicht der richtige Ansatz. Es wird ja immer nur eine Münze geworfen. Und bei der kommt es darauf an, wo ihr Mittelpunkt hinkommt. Zeichne dir mal auf, wo das sein darf, damit die Münze den Rand nicht schneidet oder berührt.
GG Auf diesen Beitrag antworten »

Hab ich. Es entsteht ein kleineres Quadrat. Eine Seite des kleineren Quadrats ist um ist um d+2x kleiner.
D ist der Durchmesser, x ist das kleine Stück, dass noch fehlt, damit die Münze nicht auf der Linie liegt.
x kann man so klein wie möglich machen, oder?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von GG
Hab ich. Es entsteht ein kleineres Quadrat.

Richtig!
Und die Seitenlänge dieses Quadrates kannst du bestimmen, indem du die Münze gerade den Rand des Quadrates berühren lässt. Gleichungen mit Unbekannten sind nicht erforderlich.
GG Auf diesen Beitrag antworten »

Die gesammte Fläche ist 4d², während das Recheck den Flächeninhalt d² hat, also 1/4
Die Wahrscheinlichkeit des Münzwerfers, zu gewinnen, beträgt 25% (also gewinnt das Schullandheimteam zu 75%).

Wird die Münze 4 Mal geworfen, bekommt das Team im Schnitt 3€ und verlieren n€. Wäre n=3, dann würden sich Gewinn und Verlust die Waage halten, sie dürfen also höchstens 2,99€ als Verlustgeld setzen. Oder?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von GG
Die gesammte Fläche ist 4d², während das Recheck den Flächeninhalt d² hat, also 1/4
Die Wahrscheinlichkeit des Münzwerfers, zu gewinnen, beträgt 25% (also gewinnt das Schullandheimteam zu 75%).

Jawolll! Freude

Zitat:
Wird die Münze 4 Mal geworfen, bekommt das Team im Schnitt 3€ und verlieren n€. Wäre n=3, dann würden sich Gewinn und Verlust die Waage halten, sie dürfen also höchstens 2,99€ als Verlustgeld setzen. Oder?

Wieso bekommt das Team (= Schullandheim) dann nur 3 €? Auch wenn der Spieler gewinnt, muss er erst mal einen € einsetzen.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von BarneyG.
Alles in allem keine sehr gelungene Aufgabenstellung!

Da bin ich anderer Meinung:

Ich finde die Aufgabenstellung sehr wohl gelungen, ist ein gutes Beispiel zur geometrischen Wahrscheinlichkeit. Und wenn das Spielfeld hinreichend groß ist (ein paar Quadratmeter), dann sind die beschriebenen Randeffekte vernachlässigbar. Augenzwinkern

Im übrigen kann man es durchaus als verwandt zu dem in der Kernphysik so bedeutsamen Wirkungsquerschnitt ansehen - natürlich grob vereinfacht.
BarneyG. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Da bin ich anderer Meinung:


Da bin ich nun aber ebenfalls entschieden anderer Meinung, mein lieber Arthur Dent!

Es handelt sich hier um eine Aufgabe, die wohl von Schülern im Alter von 15 - 16 Jahren zu lösen ist.

Wie soll man denn Kindern in diesem Alter vermitteln, dass Mathematik eine EXAKTE Wissenschaft ist? Wenn man bei der Lösung einer Aufgabe ganz bewusst in Kauf nimmt, dass das Lösungsverfahren Fehler aufweist!

Die Zahl 0 ist von der Zahl 0,000000000001 nun mal verschieden. Und selbst wenn man die Anzahl der Nullen zwischen dem Komma und der Eins ein paarmal um die Erde wickeln könnte, die Zahlen wären immer noch verschieden! Punkt!

Wie groß sollte das Spielfeld denn deiner Meinung nach sein? Ein paar Quadratmeter? Wie wär's mit ein paar Quadratkilometern! Und selbst wenn die Seitenlänge einige Lichtjahre betragen würde, es bliebe immer noch eine Randunschärfe!

Die Zahl Wurzel 3 kann man ebenso wie die Zahl e nicht exakt darstellen! Das ist schon klar. Aber hier geht es um ein LÖSUNGSVERFAHREN. Und da gibt es keine Kompromisse! Entweder ist das Verfahren zu 100 Prozent korrekt. Oder es ist falsch. Es sei den, man kann die Grenzen der Unschärfe fassen. Und das dürfte einen Schüler, ebenso wie den BarneyG. und - bei aller Wertschätzung - möglicherweise auch den Arthur Dent dann schnell überfordern!

In der Mathematik gibt es eben keine Kompromisse, Arthur Dent!

Klar gibt es Unschärfe Relationen. Fuzzy Logic. etc. etc. Aber das hammer in der 10. Klasse noch nicht gehabt. Und ob wir das in der Oberstufe kriegen? Vielleicht im Grundstudium. Aber auch nur vielleicht ... Big Laugh

Und deshalb halte ich die Aufgabe eben für nicht so gelungen. Nicht mehr und nicht weniger habe ich hier ausdrücken wollen ... verwirrt
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von BarneyG.
In der Mathematik gibt es eben keine Kompromisse, Arthur Dent!

Offensichtlich kennst du mich kein bisschen, sonst hättest du dir diese hochnäsige Belehrung gespart. Schau dich mal etwas um hier im Matheboard, dann weißt du, dass ich der letzte bin, der hier mathematische Kompromisse eingeht. Augenzwinkern

Trotzdem lasse ich mir von dir hier nicht eine gelungene Aufgabe durch Argumente zerreden. Wenn du so an Anwendungsaufgaben herangehst, dass du jede Abstraktion ablehnst, die nicht 100%ig stimmt, dann wirst du gar keine Anwendungsaufgaben lösen können.

Im übrigen: Ich habe nicht das geringste dagegen, dass du anderer Meinung bist - umgekehrt scheint es anders zu sein, wenn ich deine leidenschaftliche und z.T. persönlich abfällig werdende Erwiderung ("möglicherweise auch den Arthur Dent dann schnell überfordern") so betrachte.
BarneyG. Auf diesen Beitrag antworten »

Es lag nicht in meiner Absicht irgend jemanden zu verletzen. Ich will auch niemanden belehren. Und hochnäsig bin ich auch nicht.

Da sich keine neuen sachlichen Argumente ergeben haben und ich überhaupt keine Lust habe, mich herumzustreiten, wird sich der BarneyG aus dieser Diskussion verabschieden! Big Laugh
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von BarneyG.
Und hochnäsig bin ich auch nicht.

Doch, das bist du. Deine Worte sprechen klar dafür.

Zitat:
Original von BarneyG.
Da sich keine neuen sachlichen Argumente ergeben haben und ich überhaupt keine Lust habe, mich herumzustreiten

Ich schon. Also mal näher analysiert:

Du vermengst da in deiner obigen angriffslustigen Erwiderung bei Anwendungsaufgaben zwei Dinge miteinander:

1.Die mathematische Abstraktion des Anwendungsproblems
2.Die Lösung dieser mathematischen Abstraktion

Bei 2. bin ich unbedingt für mathematische Exaktheit, das ist hier bei der vorliegenden Aufgabe (durch Huggy betreut) auch geschehen. In diesem Punkt stimmen wir überein, deswegen ist es geradezu lächerlich, dass du mir in diesem Punkt Unexaktheit vorwirfst.

Was 1. betrifft, dann sollte man anstreben, aus den vorliegenden Angaben das beste zu machen - wohl wissend, dass diese mathematische Abstraktion die Wirklichkeit nicht 100%ig abbildet. Aber im vorliegenden Fall ist nun mal die Spielfeldgröße und -form nicht bekannt, geschweige denn das genaue Wurfverhalten des Spielers (Wkt.verteilung von Wurfwinkel und -geschwindigkeit). Was bleibt ist

a) zu resignieren,

oder

b) das beste draus zu machen, d.h., das aus den zugänglichen Angaben bestmögliche Modell zu finden.

Ich bin uneingeschränkt für b), am besten noch unter Erwähnung der Probleme, die dieser nichtperfekten Abstraktion anhaften. Idealerweise mit einer quantitativen Fehlerabschätzung, was im vorliegenden Fall hübsch anspruchsvoll werden dürfte. Augenzwinkern
GG Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich mal ein paar Worte in den Raum werfen darf:

Die Aufgabe stammt aus einer Vergleichsarbeit (für die 8. oder 9. Klasse), also von wegen 15/16 Jahre alte Schüler! 12-13 würd ich mal sagen...

Ich bin zwar in der 10. und 15 Jahre alt, aber wir machen die Aufgabe nur zum üben und bei den anderen wurde es benotet! =(

Die Aufgabe ist befriedigend.
Dafür, dass die Verfasser vom Bildungsinstitut oder sonstwo sehr sehr lange Zeit hatten, die Aufgabe zu verfassen, ist die Aufgabe jedoch einfach unbefriedigend!

Ich will die Aufgabe hier noch gelöst haben, also weiter
Zitat:
Original von Huggy
Wieso bekommt das Team (= Schullandheim) dann nur 3 €? Auch wenn der Spieler gewinnt, muss er erst mal einen € einsetzen.


Wir haben die Aufgabe in der Zwischenzeit besprochen und der Lehrer hat 3 € gemeint. Wäre 4€ die richtige Antwort?!
Haja, die bekomme ja noch 1€ von ihm!?



Also kann n sogar erst kleiner als 4 sein, oder??
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von GG
Wir haben die Aufgabe in der Zwischenzeit besprochen und der Lehrer hat 3 € gemeint. Wäre 4€ die richtige Antwort?!
Haja, die bekomme ja noch 1€ von ihm!?



Also kann n sogar erst kleiner als 4 sein, oder??

Richtig!
Wenn der Gewinn genau 4 € wäre, erhielte man pro 4 Spiele 4 € Einsatz und müsste im Mittel einen Gewinn zu 4 € auszahlen, was sich genau ausgleicht. Wenn der Lehrer mit 3 € die Grenze für den Gewinn meint, ist seine Anwort falsch. Wenn er nur meint, dass bei 3 € Gewinn die Schule einen Profit erwarten kann, stimmt das natürlich.
GG Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen vielen Dank, Huggy!
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