Zahl aus 1..N

31.03.2009, 16:21

Buef

Zahl aus 1..N

Jede von n Personen wählt zufällig eine Zahl aus der Menge $\begin{eqnarray*} {1..N} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} 2\leq n \leq N \end{eqnarray*}$ . Gebe Sie explizit ein geeignetes Zufallsexperiment $\begin{eqnarray*} (\Omega,p) \end{eqnarray*}$ an, charakterisieren Sie folgende Ereignisse als Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ und bestimme deren Wahrscheinlichkeiten.

a) Wenisgtens 2 Personen haben die selbe Zahl gewählt
b) Die Zahl 1 wurde k-mal gewählt
c) Die Zahl 1 und N wurden ausgewähl

Also ich brauche eine TOTAL PERFEKT LÖSUNG! deshalb muss ich immer "linear" "unabhängig" und alles was ich benutze und alle Vorraussetzungen dranschreiben! Bitte mekert immer mit mir!

a)

$\begin{eqnarray*} \Omega = \{1..N \} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (\Omega, p) \end{eqnarray*}$ Laplace Verteilung mit $\begin{eqnarray*} P(X=x)=\frac{1}{|\Omega|} \end{eqnarray*}$

Dann müsste die Wahrscheinlichkeit

X=Ereignis, dass die beliebige aber feste Zahl ausgesucht wird

$\begin{eqnarray*} P(X=x)=\sum_{i=1}^n \frac{1}{N}^2 \cdot \frac{1}{N}^{i-2} \cdot (\frac{N-1}{N})^{n-i-2} = \sum_{i=1}^n \frac{1}{N}^i \cdot (\frac{N-1}{N})^{n-i-2} \end{eqnarray*}$

Hmm weiter komme ich momentan nicht

b)

Die Zahl wurde k-mal gewählt

$\begin{eqnarray*} P(X=x) = (\frac{1}{n})^k (1-\frac{1}{n})^{n-k} \end{eqnarray*}$

c)

A= Die Zahl 1 und N wurden ausgewählt

$\begin{eqnarray*} P(X=1)=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(X=n)=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X=1 , X=n)=\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow P(A)=(\frac{1}{n^2})^{2+k}\cdot (1-\frac{1}{n^2})^{n-2-k} \end{eqnarray*}$

31.03.2009, 17:17

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Zitat:

Original von Buef
a)

$\begin{eqnarray*} \Omega = \{1..N \} \end{eqnarray*}$

Das reicht nicht: Damit beschreibst du nur das Ziehungsergebnis einer Person, nicht aber aller $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Personen. Letzteres ist aber nötig, denn in einem $\begin{eqnarray*} \omega\in \Omega \end{eqnarray*}$ muss sich das Ziehungergebnis aller Personen widerspiegeln!

Also: $\begin{eqnarray*} \Omega = \{1,\ldots,N\}^n \end{eqnarray*}$ , d.h., die Menge aller $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -Tupel von Zahlen $\begin{eqnarray*} 1,\ldots,N \end{eqnarray*}$ .

Daraus resultiert dann auch, dass du dich um die Charakterisierung der Ereignisse gedrückt hast und gleich zu den Wahrscheinlichkeiten übergegangen bist: Mit deinem $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ war das natürlich nicht möglich...

31.03.2009, 17:52

Buef

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okay also

$\begin{eqnarray*} \Omega = \{1,\ldots,N\}^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=\{w_i \in \Omega : \exists w_j = w_k \text{ für } i\neq j \text{ und } j,k\in {1..n}\} \end{eqnarray*}$

dann ist

$\begin{eqnarray*} P(A)=\sum_{i=1}^n \frac{1}{N}^2 \cdot \frac{1}{N}^{i-2} \cdot (\frac{N-1}{N})^{n-i-2} = \sum_{i=1}^n \frac{1}{N}^i \cdot (\frac{N-1}{N})^{n-i-2} \end{eqnarray*}$

31.03.2009, 18:12

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Nein, die Wahrscheinlichkeit bei a) ist nicht richtig - wenn ich da N=n=2 da einsetze, rollen sich mir die Fußnägel hoch! Hast du denn gar keine Zahlenbeispiele probiert, um die Formel zu verifizieren??? unglücklich

Gehe lieber über das Gegenereignis, was da lautet:

"Jede der n Personen hat eine andere Zahl gewählt."

31.03.2009, 19:51

Buef

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a)

Stimmt jetzt wo du es sagst schlag ich mir vor dem Kopf!

$\begin{eqnarray*} P(A^c)=(\frac{1}{N})^n \end{eqnarray*}$

b) okay das nächste

X=Die 1 wurde k mal gewählt

$\begin{eqnarray*} P(X=2)=(\frac{1}{N})^k (1-\frac{1}{N})^{n-k} \end{eqnarray*}$

also das müsste auch richtig sein

c) Ich würde das auch mit dem Gegenereignis machen

X= Die Zahl 1 oder N wurde ausgesucht
$\begin{eqnarray*} P(X^c)=(\frac{N-2}{N})^n \end{eqnarray*}$

31.03.2009, 21:25

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Zitat:

Original von Buef
$\begin{eqnarray*} P(A^c)=(\frac{1}{N})^n \end{eqnarray*}$

Das ist es leider auch nicht. unglücklich

Ist das denn so schwer mit dem $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ : Der erste kann noch eine beliebige der N Zahlen wählen, der zweite nur noch unter (N-1) Zahlen, der dritte ...

31.03.2009, 21:52

Buef

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$\begin{eqnarray*} P(A^c)=\frac{(N-n+1)!}{N^n} \end{eqnarray*}$ ??

01.04.2009, 18:28

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Jetzt hast du wirklich deinen letzten Ratejoker verbraucht. unglücklich

Also gemäß meinem letzten Hinweis:

$\begin{eqnarray*} P(A^c) = \frac{N}{N} \cdot \frac{N-1}{N} \cdot \ldots \cdot \frac{N-n+1}{N} = \frac{N!}{(N-n)!\cdot N^n} \end{eqnarray*}$

Ist übrigens von der Abstraktion her das bekannte Geburtstagsparadoxon.

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