Bestimme alle Gruppen der Ordnung 12

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Mila Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimme alle Gruppen der Ordnung 12
Hey, ich habe folgendes Problem - ich bin auf der Suche nach einem Rezept, um alle Gruppen einer bestimmten Ordnung zu bestimmen...

Beispiel: |G| = 12

12 = 2^2 * 3

Also zunächst habe ich geschaut:

ggt(4,3) = 1 bzw. ggt(2,3) = 1

also (kann leider kein isomorph Zeichen darstellen...

Nun dann habe ich mir die Sylow-Gruppen angeschaut:

1. Fall: p = 3 m = 2^2

Es gilt: s | m und

Daraus folgt:

Möglichkeiten: s = 1, 2, 4

mit

s = {1,4}

--> also eine 1-Sylow-3-Untergruppe
--> also eine 4-Sylow-3-Untergruppe

2. Fall: p = 2 m = 3

Möglichkeiten: s = 1, 3

mit

s = {1, 3}

--> also eine 1-Sylow-2-UG
--> also eine 3-Sylow-2-UG


Aber was mache ich dann, wie geht es weiter...
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimme alle Gruppen der Ordnung 12
Hi Mila,

Schau Dir doch zuerst mal den abelschen Fall an (siehe z.B. hier). Dafür gibt es zwei Möglichkeiten, also zwei abelsche Gruppen der Ordnung 12.

Jetzt nimmst Du an, dass G nicht abelsch ist und kannst Dir die 3-Sylowgruppen anschauen:

Fall 1: , dann ist eine 3-Sylowgruppe eine Untergruppe vom Index 4 und enthält keine nichttrivialen Normalteiler von G. Damit ist G isomorph zu einer Untergruppe von . (Satz von Cayley)

Fall 2: , dann ist und da ist und (nicht abelsch), kannst Du Ordnung und Struktur von bestimmen und weißt außerdem, dass ein nichttrivialer Automorphismus auf dieser Gruppe operiert. Damit gibt es nur noch eine Möglichkeit...

Gruß,
Reksilat.

PS:

code:
1:
\cong
Mila Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimme alle Gruppen der Ordnung 12
Also, d.h. die abelschen Gruppen kann ich bestimmen ohne direkt auf die Sylowgruppen einzugehen:

--> also habe mir nun überlegt, dass ja die zyklischen Gruppen abelsch sind:

Also folgende Möglichkeiten mit :

1.

2.

Dann weiß ich ja das

Also folgt außerdem:

Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimme alle Gruppen der Ordnung 12
Zitat:
Original von Mila
Also, d.h. die abelschen Gruppen kann ich bestimmen ohne direkt auf die Sylowgruppen einzugehen:

Das ist richtig, denn in einer abelschen Gruppe sind die Sylowgruppen normal und somit gibt es zu jeder Primzahl auch immer nur eine p-Sylowgruppe.

Zitat:

Also folgende Möglichkeiten:
1.
2.

Richtig, die Gruppe lässt sich als direktes Produkt der 2-Sylow- und der 3-Sylowgruppe schreiben:
Für die 3-Sylowgruppe gibt es nur die Möglichkeit , wohingegen die 2-Sylowgruppe entweder oder ist.

Gruß,
Reksilat
Mila Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimme alle Gruppen der Ordnung 12
Ok, ablesch ist dann eigentlich gar nicht so schwierig...nur mit den Sylowgruppen habe ich noch meine Probleme...

also, es ist schon mal ok, dass...

Fall 1: , dann ist eine 3-Sylowgruppe eine Untergruppe vom Index 4 und enthält keine nichttrivialen Normalteiler von G. Damit ist G isomorph zu einer Untergruppe von . (Satz von Cayley)

Nach Cayley ist ja jede Gruppe isomorph zu einer Untergruppe einer symmetrischen Gruppen.

Das mit den Normalteiler verstehe ich noch nicht ganz...


Ich habe mir zwar schon gedacht, dass und ist ja nicht abelsch - also könnte man schreiben:



und daraus auch mit



aber wie kann man das mit den automorphismen begründen?

Ich glaube ich habe da noch einige Lücken und es fehlen mir die Zusammenhänge
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimme alle Gruppen der Ordnung 12
Nun, Cayley besagt, dass, wenn ich eine Untergruppe habe, mit und der maximale Normalteiler von , der sich in finden lässt ist, also

Dann ist isomorph zu einer Untergruppe von .

(Im Beweis lässt man durch Rechtsmultiplikation auf den Rechtsnebenklassen von operieren, die Elemente die trivial operieren sind gerade die Elemente von )

Hier ist U eben eine 3-Sylowgruppe.

Zitat:

Das ist Quatsch!

Wenn Du zeigen willst, dass im Fall 2 die (auch als bezeichnet) rauskommt, dann musst Du auch wissen, wie man diese identifizieren kann. Schau mal in Deinen Hefter oder hier (§3)

Gruß,
Reksilat
 
 
Mila Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimme alle Gruppen der Ordnung 12
Ahh - eigentlich bin ich auch einfach davon ausgegangen, dass und habe eine nicht abelsche Gruppe gesucht mit Ordnung 6...aber danke...das darf natürlich nicht passieren....

also, habe mir nun folgendes überlegt...das direkte Produkt habe ich ja bei den abelschen Gruppen genutzt - also betrachte ich nun das semidirekte Produkt, was wiederum einen Homomorphismus in die Automorphismen beschreibt, also:

G Gruppe, A,B Untergruppen

G = Semidirektes Produkt aus A und B

bzw.

Hom:

Das heißt für uns:



Hom:



G = Semidirektes Produkt aus

Dann:

Hom:

und dann müsste man das doch so weiter machen...
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimme alle Gruppen der Ordnung 12
Damit kommst Du aber nicht weiter, da Du erstmal zeigen müsstest, dass sich alle Gruppen der Ordnung 12 als irgendein semidirektes Produkt darstellen lassen müssen und dazu brauchst Du dann noch Normalteiler... Nichtabelsche Gruppen lassen sich eben nicht so einfach in irgendwelche Faktoren zerlegen - es gibt keinen Struktursatz wie bei abelschen Gruppen.

Was wir bisher haben, ist der Sylowsatz und die beiden Fälle, die sich ergeben. Wenn Du willkürlich alle möglichen semidirekten Produkte überprüfen willst, dann hast sehr viel mehr zu tun und kannst Dir trotzdem nicht sicher sein, alles gemacht zu haben.

Ein Link noch zu Diedergruppen (S. 2.6.9) und semidirekten Produkten. klick

Gruß,
Reksilat.
Mila Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimme alle Gruppen der Ordnung 12
Hey, vielen dank nochmal - habe mir jetzt eine Art Rezept zusammengestellt - habe eingesehen...dass man bei den nicht abelschen Gruppen etwas anders vorgehen muss:-) Danke nochmal
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