Newton-Verfahren - Konvergenz

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Lenne Auf diesen Beitrag antworten »
Newton-Verfahren - Konvergenz
Moin!

Ich soll für das Newton-Verfahren aufstellen und zeigen, dass es für konvergiert.

Ersteres ist ja kein Problem:
.

Nun aber zum zweiten Teil...
Das Einzige, was ich im Skript zur Konvergenz beim Newton-Verfahren finde, ist:

"Sei f zweimal stetig differenzierbar auf
, sei mit eine Nullstelle von f , und
es gelte .

Dann gibt es ein derart, daß
und für alle Startwerte gilt

(1) die Folge der Iterierten des Newton-Verfahrens
erfüllt und das Verfahren konvergiert.
[...]"

Nunja.. ich weiß nicht, wie ich das hier anwenden soll oder ob es überhaupt geht, denn ich hab ja hier kein abgeschlossenes Intervall und auch noch keine Nullstelle.. Eben die will man doch mit Newton berechnen...?!

Kann mir da vllt jemand den entscheidenden Wink mit dem Zaunpfahl geben?
asevi Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich mich richtig erinnere dann macht man das mit:


tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

[WS] Eindimensionale Nullstellenprobleme 2
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

In einfachen Fällen hilft das folgende hinreichende Kriterium.

Sei im Intervall zweimal differenzierbar. Ferner gelte in ganz entweder oder .
Besitzen nun und verschiedene Vorzeichen, so besitzt in genau eine Nullstelle. Man erhält sie als Grenzwert der Folge des Newton-Verfahrens, wenn man für den Startwert verlangt, daß dasselbe Vorzeichen wie besitzt.

Hier kannst du mit einem wählen. In gilt: . Wenn nur hinreichend groß ist, liegt in . Für solch ein trifft die Vorzeichenvoraussetzung des Satzes zu. Damit ist die Konvergenz des Newton-Verfahrens gesichert.

Übrigens, daß in deinem Kriterium in ganz ist, kann wohl nicht stimmen ...
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