Orthonormalisierungsverfahren von Gram und Schmidt

12.09.2006, 19:06

gessi

Orthonormalisierungsverfahren von Gram und Schmidt

Ich habe einige Fragen zu diesem Verfahren. Bevor ich da nach Einzelheiten frage, wüsste ich aber gerne, wozu es gut ist...
Eigentlich dachte ich, es wäre dazu da, dass man zu einem gegebenen Raum (mit irgendeiner Basis) eine Orthonormalbasis (ONB) finden kann. So verstehe ich das auch bei wikipedia.

Wir haben es aber so aufgeschrieben:
Es sei $\begin{eqnarray*} (v_1,...,v_m) \end{eqnarray*}$ Orthonormalsystem (ONS). Zu jedem $\begin{eqnarray*} v~\notin~span(v_1,...,v_m) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} (v_1,...,v_m,v_{m+1}) \end{eqnarray*}$ ein ONS mit $\begin{eqnarray*} span(v_1,...,v_m,v_{m+1})=span(v_1,...,v_m,v) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} v_{m+1}:=\frac{1}{||v'_{m+1}||} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v'_{m+1} = v-\sum_{i=1}^n~s(v_i,v)v_i \end{eqnarray*}$ (s ist eine Bilenear- bzw. eine hermitesche Form)

Aber was bezwecke ich damit? Ich habe ja schon ein ONS. Will ich jetzt das vorhandene ONS um einen Vektor erweitern, sodass es immer noch ein ONS bleibt?

Edit: Kleine Frage am Rande: Es gibt ja die Standardbasis. In $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist sie auch klar, aber wie sieht sie in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ aus?

12.09.2006, 23:02

Ben Sisko

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Was du hier hast, ist sozusagen die Fundierung des Gram-Schmidt-Verfahrens, also sozusagen die Begründung, warum der "Algorithmus" funktioniert.

Der Algorithmus funktioniert ja schrittweise, d.h. du startest mit einem Vektor aus deinem lin. unabh. System. Den normierst du.
Dann findest du mit dem zweiten Vektor deines Systems und dem Orthonormalisierungsschritt, den du hier angegeben hast den zweiten Vektor des ON-Systems (in diesem Schritt ist also m=1).
Dann findest du mit dem dritten Vektor deines Systems und dem Orthonormalisierungsschritt, den du hier angegeben hast den dritten Vektor des ON-Systems (in diesem Schritt ist also m=2) usw.

Alles klar?

Gruß vom Ben

Edit:

Zitat:

Original von gessi
Edit: Kleine Frage am Rande: Es gibt ja die Standardbasis. In $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist sie auch klar, aber wie sieht sie in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ aus?

$\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ist isomorph zum $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ .

13.09.2006, 02:30

JochenX

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Zitat:

Original von Ben Sisko

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ist isomorph zum $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ .

als IR-Vektorräume ja, aber ob das hier gemeint ist!?

"Standardbasis in IR" meinst du das wirklich, oder denkst du an den IR^n als Ir-Vektorraum?

Also. welcher Körper liegt zu Grunde, wie heißt der VRm?

13.09.2006, 14:42

gessi

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Ich meinte einfach, wie die Standardbasis zum $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \mathbb C^n \end{eqnarray*}$ aussieht.

Wir sind auf die Frage im Zusammenhang mit ganz normalen K-Vektorräumen bzw. Matrizen gekommen (Stichwort Basiswechsel). Da haben wir öfters die Standardbasis. Im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ sind das ja die Vektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ ... \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ ... \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ usw.
Aber wie sieht das im $\begin{eqnarray*} \mathbb C^n \end{eqnarray*}$ aus? In einem Beweis heißt es bei uns mal "Sei e die Standardbasis des $\begin{eqnarray*} \mathbb C^n \end{eqnarray*}$ " und wir wissen halt noch nicht mal, wie die aussieht...

Muss aber zugeben, dass ich deine Frage nicht so 100%ig verstehe - gibt es unterschiedliche Standardbasen? Der $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist doch einfach der $\begin{eqnarray*} \mathbb R^1 \end{eqnarray*}$ , oder?

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