Existenz uneigentliches Integral

05.04.2009, 18:13

stereo

Existenz uneigentliches Integral

Hallo

Ich hab grad Probleme die Stammfunktion von

$\begin{eqnarray*} \int^\infty_0 \frac {\ln x}{1+x^2} ~ \dd x \end{eqnarray*}$

zu finden. Die partielle Integration führte mich zur Zeit nicht ans Ziel. Ich vermute jetzt dass ich die Existenz mit der Beschränkheit der Funktion prüfen muss.

die Funktion ist ja für x=0 nicht definiert, es gilt

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow 0} \frac {\ln x}{1+x^2} = - \infty \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich schauen was mit x -> oo passiert, ob die Funktion beschränkt ist. So das ist sie, die Funktion läuft gegen 0.

Nun bräuchte ich ein Tip, ich kann die Informationen leider nicht verwerten.
Danke schonmal

05.04.2009, 20:41

Frank Xerox

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RE: Existenz uneigentliches Integral
Das Integral existiert und hat den Wert 0.

Um das einzusehen solltest Du zunächst x=Exp(t) substituieren und dann beachten, dass Cosh eine gerade Funktion ist.

05.04.2009, 23:13

Leopold

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Vorbehaltlich Konvergenz kann man rechnen

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty} \frac{\ln x}{1 + x^2}~\dd x = \int_0^1 \frac{\ln x}{1 + x^2}~\dd x + \int_1^{\infty} \frac{\ln x}{1 + x^2}~\dd x \end{eqnarray*}$

Daß nun der zweite Summand konvergiert, ist wegen des extrem schwachen Wachstums des Logarithmus offensichtlich. Und wenn man $\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{t} \end{eqnarray*}$ darin substituiert, geschieht etwas Überraschendes.

06.04.2009, 00:54

stereo

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Hallo

ich bin nun auch auf das Ergebnis gekommen. Vielen Dank für den nützlichen Tip.

Die 2 Integrale sind gleich groß Tanzen

06.04.2009, 01:10

Frank Xerox

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RE: Existenz uneigentliches Integral
$\begin{eqnarray*} \int^\infty_0 \frac {\ln x}{1+x^2} ~ \dd x=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{te^t}{e^{2t}+1}~\dd t=\frac12\int_{-\infty}^{\infty}\frac{t}{\cosh{t}}~\dd t=0. \end{eqnarray*}$

08.04.2009, 10:55

jester.

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Zitat:

Original von Leopold
Vorbehaltlich Konvergenz kann man rechnen

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty} \frac{\ln x}{1 + x^2}~\dd x = \int_0^1 \frac{\ln x}{1 + x^2}~\dd x + \int_1^{\infty} \frac{\ln x}{1 + x^2}~\dd x \end{eqnarray*}$

Daß nun der zweite Summand konvergiert, ist wegen des extrem schwachen Wachstums des Logarithmus offensichtlich. Und wenn man $\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{t} \end{eqnarray*}$ darin substituiert, geschieht etwas Überraschendes.

Kannst du oder kann jemand anderes das mal etwas genauer zeigen? Ich habe das hier zu Hause auf meinem Zettel nicht nachvollziehen können. traurig

08.04.2009, 15:25

Leopold

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Für $\begin{eqnarray*} x \geq 1 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \ln x \leq x^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Das kann man mit bekannten Eigenschaften der Logarithmus- oder Exponentialfunktion begründen. Oder auch mit Schulmathematik, indem man das Minimum der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = x^{\frac{1}{2}} - \ln x \, , \ x \geq 1 \end{eqnarray*}$ bestimmt. Es befindet sich bei $\begin{eqnarray*} x = 4 \end{eqnarray*}$ und ist positiv.

Also kann man für $\begin{eqnarray*} x \geq 1 \end{eqnarray*}$ abschätzen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\ln x}{1 + x^2} \leq \frac{x^{\frac{1}{2}}}{1 + x^2} \leq \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^2} = x^{- \frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$

Da das Integral von $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ über den letzten Term konvergiert, hat man eine Majorante gefunden. Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \int_1^{\infty} \frac{\ln x}{1 + x^2}~\dd x \leq \int_1^{\infty} x^{- \frac{3}{2}}~\dd x = 2 \end{eqnarray*}$

Mit der Substitution $\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{t} \, , \ \ \dd x = - \frac{\dd t}{t^2} \end{eqnarray*}$ folgt vorbehaltlich Konvergenz:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \frac{\ln x}{1 + x^2}~\dd x = - \int_1^{\infty} \frac{\ln t}{1 + t^2}~\dd t \end{eqnarray*}$

Da das Integral rechts aber wie gesehen konvergiert, konvergiert auch das Integral links, und es gilt die Gleichheit. Insgesamt hat man jetzt Konvergenz auf dem ganzen Bereich von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ und führt die Rechnung zu Ende:

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty} \frac{\ln x}{1 + x^2}~\dd x = \int_0^1 \frac{\ln x}{1 + x^2}~\dd x + \int_1^{\infty} \frac{\ln x}{1 + x^2}~\dd x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = - \int_1^{\infty} \frac{\ln x}{1 + x^2}~\dd x + \int_1^{\infty} \frac{\ln x}{1 + x^2}~\dd x = 0 \end{eqnarray*}$

Beachte auch die alternative Lösung von Frank Xerox.

08.04.2009, 16:37

jester.

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Jetzt ist mir das deutlich klarer geworden und ich konnte die Rechnung selbstständig nachvollziehen. Danke! Freude

11.04.2009, 21:53

freedom

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Zitat:

Original von Leopold
Das kann man mit bekannten Eigenschaften der Logarithmus- oder Exponentialfunktion begründen. Oder auch mit Schulmathematik, indem man das Minimum der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = x^{\frac{1}{2}} - \ln x \, , \ x \geq 1 \end{eqnarray*}$ bestimmt. Es befindet sich bei $\begin{eqnarray*} x = 4 \end{eqnarray*}$ und ist positiv.

Wieso kann ich mit dem Minimum nachweisen, dass die Ungleichung erfüllt ist?

Eine generelle Frage zum Abschätzen:
Gibt es eine goldene Regel, wann man abschätzen sollte?
Sinn macht es natürlich, wenn man eine Minorante bzw. Majorante sucht.
Bei Ungleichungen habe ich Abschätzen auch schon gesehen/genutzt.

Viele Grüße

12.04.2009, 20:21

Cordovan

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Zitat:

Wieso kann ich mit dem Minimum nachweisen, dass die Ungleichung erfüllt ist?

Du siehst, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig ist und außerdem gilt $\begin{eqnarray*} f(1)=1>0 \end{eqnarray*}$ . Jetzt hat die Funktion genau eine Extremstelle, nämlich ein Minimum bei $\begin{eqnarray*} (4,2-\log4) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2-\log4>0 \end{eqnarray*}$ . Also ist die Funktion überall positiv:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt x-\log x>0 \end{eqnarray*}$ .

Damit folgt die Behauptung.

Cordovan

14.04.2009, 21:01

bappi

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RE: Existenz uneigentliches Integral

Zitat:

Original von Frank Xerox
$\begin{eqnarray*} \frac12\int_{-\infty}^{\infty}\frac{t}{\cosh{t}}~\dd t=0. \end{eqnarray*}$

Hallo!

Leider verstehe ich den letzten Schritt nicht. Wie kommst du zu dem Ergebnis? Über eine Abschätzung oder die Definition der Exponentialreihe?

17.04.2009, 14:45

saz

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RE: Existenz uneigentliches Integral

Zitat:

Original von Frank Xerox
$\begin{eqnarray*} \int^\infty_0 \frac {\ln x}{1+x^2} ~ \dd x=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{te^t}{e^{2t}+1}~\dd t=\frac12\int_{-\infty}^{\infty}\frac{t}{\cosh{t}}~\dd t=0. \end{eqnarray*}$

Müsste man hier im letzten Schritt nicht erst noch zeigen, dass die Integrale

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^0 \frac{t}{\cosh{t}}~\dd t \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \frac{t}{\cosh{t}}~\dd t \end{eqnarray*}$

überhaupt existieren?

17.04.2009, 17:21

Leopold

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Richtig, das fehlt noch. Es sollte aber wegen des Wachstumsverhalten von $\begin{eqnarray*} \cosh \end{eqnarray*}$ , das ja quasi dem der Exponentialfunktion entspricht, nicht weiter schwer sein.

17.04.2009, 19:32

saz

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Nunja, ich finde es ja auch logisch... aber wie zeigt man so etwas mathematisch (exakt)?

19.04.2009, 17:02

Frank Xerox

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RE: Existenz uneigentliches Integral

Zitat:

Original von bappi

Zitat:

Original von Frank Xerox
$\begin{eqnarray*} \frac12\int_{-\infty}^{\infty}\frac{t}{\cosh{t}}~\dd t=0. \end{eqnarray*}$

Hallo!

Leider verstehe ich den letzten Schritt nicht. Wie kommst du zu dem Ergebnis? Über eine Abschätzung oder die Definition der Exponentialreihe?

Nun, der Integrand ist eine ungerade Funktion. Somit gilt für alle $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \int_{-a}^a \frac{t}{\cosh{t}}~\dd t=0. \end{eqnarray*}$

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