Vollständige Ind. für Summenformel der arithmetischen Reihe

07.04.2009, 11:16

Töffi

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Vollständige Ind. für Summenformel der arithmetischen Reihe

Hallo,
habe Probleme beim Lösen der folgenden Aufgabe:
Für alle n $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0 und alle reellen Zahlen q gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~a+kq=\frac{n+1}{2}(2a+nq) \end{eqnarray*}$

Habe Folgendes gemacht:

Induktionsanfang: Setze n=0

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~a+kq= \frac{1}{2}(2a)=a \end{eqnarray*}$ wahr!

Induktionsschritt: Setze n=n+1

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n+1~a+kq=\frac{n+2}{2}(2a+qn+q) \end{eqnarray*}$ wobei hier das +1 noch über das Summenzeichen gehört. Habe das mit dem Formeleditor nicht hinbekommen... verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n+1~a+kq=\sum_{k=0}^n~a+kq+a+(n+1)q \end{eqnarray*}$ hier auch wieder die eins auf's erste Summenzeichen ziehen bitte...

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{n+1}{2}(2a+nq)+a+(n+1)q=\frac{n+1}{2}(2a+nq)+a+nq+q \end{eqnarray*}$

Noch zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} \frac{n+2}{2}(2a+qn+q)= \frac{n+1}{2}(2a+nq)+a+nq+q \end{eqnarray*}$

Hier komme ich leider nicht weiter. Entweder habe ich ein Brett vorm Kopf oder vorher einen Fehler eingebaut... Kann mir bitte jemand helfen?

07.04.2009, 11:28

IfindU

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Ich würd sagen bis dahin ist es richtig. Ich würde die rechte Seite komplett ausmultiplizieren und dann wieder ausklammern.

Übrigens musst du nur die folgenden Klammern benutzen damit Latex nicht immer nur das erste Zeichen in die Summe hat {}, also z.b. \sum^{n+1} = $\begin{eqnarray*} \sum^{n+1} \end{eqnarray*}$

07.04.2009, 12:36

Töffi

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Habe jetzt:

$\begin{eqnarray*} \frac{n+2}{2}(2a+qn+q)=\frac{n+1}{2}(2a+nq)+a+nq+q \end{eqnarray*}$

das Ganze multipliziert mit 2

$\begin{eqnarray*} (n+2)(2a+nq+q)=(n+1)(2a+nq)+a+nq+q \end{eqnarray*}$

Jetzt nur mit der rechten Seite weiter:

$\begin{eqnarray*} 2n+n^2q+2a+nq+a+nq+q=2n+n^2q+3a+2nq+q=n(2+nq+\frac{3a}{n}+2q+ \frac{q}{n})=(n+2)(\frac{nq}{2}+ \frac{6a}{n}+q+\frac{2q}{n})=(n+2)(\frac{nq}{2}+ \frac{6a+2q}{n}+q) \end{eqnarray*}$

Das stimmt doch irgendwie nicht... verwirrt

verwirrt

07.04.2009, 12:56

IfindU

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Da ist so einiges im Argen:
Lass die linke Seite, die sollte nur als Orientierung dienen wie die Gleichung auszusehen hat, deswegen multipliziere nicht mit 2 - vorallem nicht unvollständig: Eine Gleichung wird mit 2 multipliziert, indem jeder Summand beider Seiten mit 2 multipliziert wird. Damit stimmts schon die 2te Zeile nicht mehr.

Danach ist das Asumultiplizeren gründlich schief gegangen: n * 2a sind nicht 2n. Wie du es dann ausgeklammert hast, versteh ich auch nicht so wirklich.

07.04.2009, 14:06

Töffi

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UUUups, peinlich... Aber ich hau öfter mal solche Sachen rein. Weiß auch nicht, warum. Eigentlich weiß ich ja wie es geht.

So, dann mal hoffentlich ohne Fehler:

$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{2}(2a+nq)+a+nq+q= \frac{2a(n+1)}{2}+\frac{(n+1)nq}{2}+a+nq+q=\frac{2an+2a}{2}+\frac{(n+1)nq}{2}+a+nq+q=an+a+ \frac{(n+1)nq}{2}+a+nq+q=an+2a+nq+q+\frac{(n+1)nq}{2} \end{eqnarray*}$

weiter weiß ich nicht...

07.04.2009, 14:14

IfindU

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Bring einfach mal alles auf den Hauptnenner 2 und multiplizier erst einmal alles aus. Dann kannst du bisschen was zusammenfassen, jeweils a und q partiell ausklammern und dann ist man schon fast da.

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07.04.2009, 14:45

Töffi

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OK:

$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{2}(2q+nq)+ \frac{2a}{2}+ \frac{2nq}{2}+ \frac{2q}{2}= \frac{(n+1)2a+(n+1)nq+2a+2nq+2q}{2}=\frac{2an+4a+n^2q+3nq+2q}{2}= \frac{a(2n+4)+n(nq+3q)+2q}{2} \end{eqnarray*}$

Richtig?

07.04.2009, 14:52

IfindU

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Du solltest a und q ausklammern, nicht n Augenzwinkern

Augenzwinkern

So sieht man viel eher wie nah man dem Ziel schon ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.04.2009, 14:59

Töffi

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Dann eben so:

$\begin{eqnarray*} \frac{a(2n+4)+q(n^2+3n+2)}{2} \end{eqnarray*}$

Bin nen bisschen verwirrt

verwirrt

sitze schon etwas lange an mehreren Aufgaben...

07.04.2009, 15:02

IfindU

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Jetzt kann man $\begin{eqnarray*} 2n+4 = 2(n+2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n^2 + 3n + 2 = (n+1)(n+2) \end{eqnarray*}$ umschreiben.

07.04.2009, 15:29

Töffi

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Dann steht jetzt bei mir:

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+2)(n+1)q+2a(n+2)}{2} =\frac{(n+2)(qn+q)+2an+4a}{2} \end{eqnarray*}$

07.04.2009, 15:32

IfindU

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Wieso schreib ich dir dnen hin, dass man das Produkt mit a auch mit (n+2) ausdrücken kann, wenn du es sofort wieder ausmultiplizierst? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du müsstest nur noch n+2 ausklammern und das wars dann.

07.04.2009, 15:39

Töffi

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Ich rechne eben gerne nen bisschen um den heißen Brei herum... hahaha.

Nee, ich mach jetzt erst mal Schluss für heute... Der Kopf raucht. Dir vielen lieben Dank für deine Geduld und Hilfe! Hab's jetzt auf jeden Fall raus! Blumen

Blumen

07.04.2009, 16:52

Rare676

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~a+qk= \sum_{k=0}^n~a+\sum_{k=0}^n~qk=\sum_{k=0}^n~a+q \cdot \sum_{k=1}^n~k \end{eqnarray*}$

Mit

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~a=(n+1) \cdot a \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} q \cdot \sum_{k=1}^n~k=q \cdot \frac{n \cdot (n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

ergibt sich ziemlich schnell deine erwünschte Lösung - ganz ohne lästige vollständige Induktion Augenzwinkern

Augenzwinkern

Edit: wie unten beschrieben ...

07.04.2009, 20:04

Frank Xerox

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Zitat:

Original von Rare676
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~a=a \end{eqnarray*}$

Du meintest sicher:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~a=(n+1)a \end{eqnarray*}$

07.04.2009, 21:01

Rare676

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Natürlich, ist in meinen Formel untergegangen.

Ich werds schnell editieren Augenzwinkern

Augenzwinkern

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