Matrixsymmetire aus Matrixmultiplikation!

08.04.2009, 01:00

HaxlWaxl

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Matrixsymmetire aus Matrixmultiplikation!

Eine n x n Matrix A = (aij)ij heisst symmetrisch, wenn
aij = aji fur alle i; j 2 f1; : : : ; ng
Sei B nun eine beliebige m x n Matrix. Zeigen Sie, dass C = B x B(transformiert) symmetrisch ist.

Ich tue mir sehr schwer mit Beweisen generell. Aber bei dem hier weiss ich schon am anfang nicht was schreiben. Ich kann mir zwar immer bildlich das vorstellen, dass das ja so sein muss wenn ich die Spalte mit der Zeile Multipliziere, dass dann eine Symmetrische Matrix rauskommt, aber wie ich das so mit Buchstaben beweise weiss ich nicht. Irgendwelche Anregungen/Anmerkungen etc?

08.04.2009, 08:39

tigerbine

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RE: Matrixsymmetire aus Matrixmultiplikation!
Meinst du nicht eher transponiert?

$\begin{eqnarray*} BB^T \end{eqnarray*}$

Berechne eben, die einzelnen Einträge der neuen Matrix und vergleiche die entsprechenden. Hilf dir mit einem allgemeinen 3x3 Beispiel, um den Weg zu verstehen.

08.04.2009, 09:32

Ehos

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Der Beweis, dass B*B° symmetrisch ist, wobei ich mit B° die transponierte Matrix von B bezeichne, wird trivial, wenn man eine allgemeinere Definition einer transponierten bzw. symmetrischen Matrix verwendet als du:

Definition 1:
Die transponierte Matrix M° zu einer gegebenen Matrix M ist diejenige, für die im Skalarprodukt für beliebige Vektoren x,y gilt (Mx|y)=(x|M°x).

Definition 2:
Die Matrix M ist symmetrisch, wenn M=M°, also wenn im Skalarprodukt gilt
(Mx|y)=(x|My).

Man kann sich anhand eines Beispiels schnell klar machen, dass diese Definition mit Deiner übereinstimmt.
-------------------------
Nun wird dein Beweis einfach, nämlich:

(BB°x|y)=(B°x|B°y)=(x|B°°B°y)=(x|BB°y).

Volkstümliche Erläuterung zum Beweis:
Im ersten Beweisschritt "verschiebt" man also gemäß Definition 1 die erste Matrix B vom ersten Faktor in den zweiten Faktor des Skalarproduktes. Im zweiten Schritt "verschiebt" man auch die Matrix B° in den zweiten Faktor. Gemäß Definition 2 ist damit die Symmetrie von BB° gezeigt.

08.04.2009, 10:40

Mazze

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Der Beweis ist trivial wenn man die Identitäten $\begin{eqnarray*} (AB)^T = B^TA^T \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (A^T)^T = A \end{eqnarray*}$ hat. Ansonsten würde ich es so wie Tigerbine machen, also zeigen dass

$\begin{eqnarray*} (BB^T)_{ij} = ((BB^T)^T)_{ij} \end{eqnarray*}$

zeigen. Dies ist übrigens ein klassischer Beweis durch nachrechnen. Da muss man nicht mal viel nachdenken.

08.04.2009, 11:56

Ehos

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An Mazze:
Stimmt. Wenn man die Beziehungen (AB)^T=(B^T)(A^T) und (A^T)^T=A kennt, dann ist alles trivial. Diese Beziehungen sind dem Fragesteller aber nicht bekannt,denn sie folgen erst aus der Definition des transponierten und symmetrischen Operators mittels Skalarprodukt.

Vieleicht ist es aber doch einfacher, durch stures Ausrechnen den Beweis zu machen, wie Tigerbiene es vorgeschalgen hat.

08.04.2009, 12:44

Mazze

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Zitat:

folgen erst aus der Definition des transponierten und symmetrischen Operators mittels Skalarprodukt

Das stimmt so nicht, die Beziehung

$\begin{eqnarray*} (AB)^T = B^TA^T \end{eqnarray*}$

kann man durch stures nachrechnen beweisen. Dazu brauchts nur Definition der Matrizenmultiplikation und der Transponierten, und beides kennt er. Im wesentlichen ist es sogar fast der gleiche Beweis wie zur eigentlichen Aussage.

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08.04.2009, 17:26

HaxlWaxl

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Danke für die Antworten aber ich verstehe leider nicht einmal die triviale Lösung.

Ich muss beweisen, dass wenn ich eine Matrix B mit der transponierten Matrix B multipliziere, dass dann eine Matrix C rauskommt welche gleich ist wie C transponiert.

$\begin{eqnarray*} B \cdot B^T = C = C^T \end{eqnarray*}$

wo helfen mir da die Gesetze weiter?

Das mit dem Aufschreiben verstehe ich genauso wenig. Was soll ich denn in die Matrix reinschrieben.

x11 x12 x13
x21 x22 x23
x31 x32 x33

mal

x11 x21 x31
x12 x22 x32
x13 x23 x33

was mir für die erste stelle dann liefern würde, (x11 x11) + (x21 x21) + (x31 x31) usw. ??

08.04.2009, 17:32

tigerbine

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In dieser Matrix C muss doch dann gemäß Definition der Symmetrischen Matrix gelten:

$\begin{eqnarray*} c_{ij} = c_{ji} \end{eqnarray*}$

Also auch

$\begin{eqnarray*} c_{12} = c_{21} \end{eqnarray*}$

Berechne diese beiden und überprüfe.

08.04.2009, 17:44

WebFritzi

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@Ehos: Bitte benutze doch den Formeleditor. Und zweitens hat die Operation des Transponierens erstmal nichts mit einem Skalarprodukt zu tun. Außer, man definiert sie so wie du. Aber das ist doch um einiges komplizierter als die herkömmliche Definition.

08.04.2009, 18:00

HaxlWaxl

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Ja das mit dem von Hand aufschrieben habe ich jetzt kapiert, aber das geht ja ewig lang.
Kann mir jemand bitte noch den Weg erklären der etwas schneller geht mit den geg. Definitonen ?

08.04.2009, 18:30

HaxlWaxl

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$\begin{eqnarray*} A \cdot A^T = C \end{eqnarray*}$

=
$\begin{eqnarray*} (A \cdot A^T)^T = C^T \end{eqnarray*}$
=

$\begin{eqnarray*} A^T \cdot (A^T)^T = C^T \end{eqnarray*}$

=
$\begin{eqnarray*} A^T \cdot A = C^T \end{eqnarray*}$ weil

$\begin{eqnarray*} (A^T)^T = A \end{eqnarray*}$

gut so?

08.04.2009, 18:34

tigerbine

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Und was soll das zeigen? Du hast nur:

$\begin{eqnarray*} A \cdot A^T = C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A^T \cdot A = C^T \end{eqnarray*}$

Woraus folgt das nötige:

$\begin{eqnarray*} C=C^T \end{eqnarray*}$

08.04.2009, 18:43

HaxlWaxl

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achso stimmt, das ist ja ein unterschied wie rum ich die matizen multipliziere. na wie geht es dann wenn es nicht so funktioniert wie ich es gemacht habe?

08.04.2009, 19:05

tigerbine

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Wie ich es geschrieben habe. Wenn zu zu **** bist, den Weg gehen, ist das deine Sache. Mit der Summenschreibweise der MAtrizmultpiplikation könnte man sich da schon behelfen.

08.04.2009, 20:02

HaxlWaxl

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Ja deinen Weg mit dem Matrizen multiplizieren, den hab ich ja hier auf dem Blatt stehen, funktioniert, ist richtig, gut. Ich wüsste jetzt nur noch gern den ganz trivialen Weg den Mazze hier vorgeschlagen hat, denn ich kenne diese Identitäten und weiss dennoch nicht wie ich das damit beweisen soll.

08.04.2009, 20:23

tigerbine

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Also, wir definieren

$\begin{eqnarray*} C:=AA^T \end{eqnarray*}$

Dann betrachten wir die Transponierte Matrix

$\begin{eqnarray*} C^T=(AA^T)^T \end{eqnarray*}$

Wenden nun die Rechenregeln an (Und nun richtig! Transponieren dreht die Reihenfolge um!)

$\begin{eqnarray*} C^T=(AA^T)^T=(A^T)^TA^T = AA^T=C \end{eqnarray*}$

Das heißt aber, dass diese Regeln bereits bewiesen worden sein müssen!

08.04.2009, 21:19

HaxlWaxl

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Dankeschön!

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