Zahlentheorie |
| 08.04.2009, 08:59 | peach1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Zahlentheorie ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe: Beweisen Sie: n ist eine beliebige natürliche Zahl. n ist genau dann durch 2 teilbar, wenn 2|(letzte Ziffer von n) gilt; n ist genau dann durch 4 teilbar, wenn 2^2|(letzte 2 Ziffern von n) gilt; n ist genau dann durch 8 teilbar, wenn 2^3|(letzte 3 Ziffern von n) gilt; allgemein: n ist genau dann durch 2^k mit beliebigem k aus natürlichen Zahlen teilbar, wenn 2^k die letzten k Ziffern von n teilt. Ich weiß leider nicht, wie ich da überhaupt anfangen soll. Danke für eure Hilfe. |
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| 08.04.2009, 09:20 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
10 ist auf jeden Fall durch 2 teilbar, also sehen wir nur das einstellige Ende an. 100 ist auf jeden Fall durch 4 teilbar, also sehen wir nur das zweistellige Ende an. 1000 ist auf jeden Fall durch 8 teilbar, also sehen wir nur das dreistellige Ende an. Dasselbe gilt übrigens analog für 5, 25 und 125 mY+ |
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| 08.04.2009, 09:29 | peach1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aber so habe ich doch keinen Beweis geführt? |
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| 08.04.2009, 09:31 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kurze Idee: In welcher Darstellung/System schreiben wir denn meistens Zahlen auf? Kommst du nun mit mYthos Tipp besser klar. Tschüssi 
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| 08.04.2009, 09:35 | peach1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das hilt mir ehrlich gesagt auch nicht weiter 
Du meinst bestimmt das Dezimalsystem, aber wie komme ich dann weiter? |
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| 08.04.2009, 09:43 | peach1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
n= a (k-1) * 10^(k-1) + a (k-2) * 10^k(k-2) + ... + a (1) *10 + a (0) Das was hinterm a in klammern steht, soll ein index sein. n ist genau dann durch 2 teilbar (gerade Zahl), wenn die Endziffer a (0) durch 2 teilbar ist (also: 0, 2 ...) also ist 10 durch 2 teilbar, weil die letzte zahl ne 0 ist und die durch 2 teilbar ist? Habe ich es richtig verstanden? |
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| 08.04.2009, 09:45 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zeig mir doch mal die Dezimaldarstellung von 999, bitte. Und dann noch die von 998. In Summandenschreibweise. |
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| 08.04.2009, 09:53 | peach1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wieso das denn? |
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| 08.04.2009, 09:53 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Damit du mYthos verstehst. |
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| 08.04.2009, 10:02 | peach1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kann ich das nicht einfach mithilfe einer Zahl beweisen? Beispielsweise bei n ist genau durch 2 teilbar, wenn 2|(letzte Ziffer von n) gilt: 1256 = 125*10 +6 2|10 -> 2|125*10 (Produktregel) Ebenso gilt: 2|6 1. Summenregel: 2|(125*10+6) |
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| 08.04.2009, 10:17 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mit "einer" Zahl führt man höchstens einen Gegenbeweis. Was war an meiner Bitte wo schwer zu realisieren... |
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| 08.04.2009, 10:22 | peach1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ich nicht weiß, was es mir helfen soll... |
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| 08.04.2009, 10:23 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dennoch könntest du es mal hinschreiben. Also diese Diskussion wird gerade etwas ermüdend... |
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| 08.04.2009, 10:45 | peach1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry, tut mir leid. Ich weiß nur nicht genau, was du berechnet haben möchtest. 999 ist doch eine Dezimalzahl bzw. was meinst du mit Summandenschreibweise? |
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| 08.04.2009, 10:47 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja, ich möchte es eben auseinandergezogen haben bzgl. der Basis des Dezimalsystems. 999 kürzt ja im Grunde ab. 
http://de.wikipedia.org/wiki/Dezimalsystem#Definition |
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| 08.04.2009, 10:53 | peach1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
999 = 9*10^2 + 9*10^1 + 9*10^0 Meinst du das? |
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| 08.04.2009, 11:04 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, genau das. Warum hängt es also von der letzten Ziffer ab, ob die Zahl durch 2 teilbar ist? Wie sieht es mit der Teilbarkeit durch 5 aus? |
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| 08.04.2009, 11:08 | peach1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Weil die letzte Zahl immer mit 10^0 multipliziert wird? |
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| 08.04.2009, 11:15 | peach1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bei der Teilbarkeit durch fünf muss die Endziffer null oder fünf sein. |
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| 08.04.2009, 11:20 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja, warum kommt es denn nicht auf die ersten Summenden an. So muss man ja komplett argumentieren. Weil man dort .... ausklammern kann und diese Zahl die Primfaktoren ..... besitzt. |
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| 08.04.2009, 11:26 | peach1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, da hast du Recht. Danke erst einmal für deine Bemühungen. Aber ich weiß immer noch nicht, was ich jetzt als vollständigen Beweis der Aufgabe aufschreiben soll? |
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| 08.04.2009, 11:29 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja, mit dem Summenzeichen kann man so eine Dezimalzahl ja allgemein aufschreiben (siehe vorheriger Link). Und die Summe aufspalten. Dann wieder 10 ausklammern und genauso wieder argumentieren. Die klammer ist 0 (mod 2). Was muss dann für den letzen Summenden gelten? |
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