Orthonormiertes System von Polynomen

08.04.2009, 21:33	Svenja1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthonormiertes System von Polynomen Aufgabe: Verwenden Sie bitte das GRAM-SCHMIDTsche Orthonormalisierungsverfahren um aus den Polynomen $\begin{eqnarray} [x \rightarrow 16], [x \rightarrow x], [x \rightarrow x^3] \end{eqnarray}$ ein bezüglich des inneren Produktes $\begin{eqnarray} <f,g> := \int_0^1 fg \end{eqnarray}$ orthonormiertes System von Polynomen $\begin{eqnarray} p_0, p_1, p_3 \end{eqnarray}$ der Grade 0, 1 und 3 zu gewinnen. Naja, mein Problem liegt darin, dass ich nicht weiß, was ich mit diesen Polynomen anfangen soll. Dieses Verfahren kenne ich bis jetzt nur mit Vektoren, aber wie geht das jetzt mit diesen Polynomen und dem Integral? Danke für Hilfe.
08.04.2009, 22:05	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthonormiertes System von Polynomen Das Integral ist ein Skalarprodukt. Polynome sind Elemente des Polynomraums(Vektorraum). Hier mit einer anderen Formel: Gaußquadraturformel Für Gram-Schmidt bitte mal die Boardsuche benutzen.
10.04.2009, 19:21	Svenja1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Habe das jetzt mal probiert, bin mir aber unsicher... $\begin{eqnarray} \tilde p_0 = \frac{p_0}{\|\|p_0\|\|} = \frac{16}{16} = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p'_1 = x - <x,1> \cdot 1 = x - \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \tilde p_1 = \frac{x- \frac{1}{2}}{\sqrt{x^2 + \frac{1}{4}}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p'_3 = x^3 - <x^3 , 1> \cdot 1 - <x^3, \frac{x- \frac{1}{2}}{\sqrt{x^2 + \frac{1}{4}}} > \cdot \frac{x- \frac{1}{2}}{\sqrt{x^2 + \frac{1}{4}}} \end{eqnarray}$ Ist das soweit richtig?
10.04.2009, 19:39	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Weiß nicht, wann ich zum nachrechnen komme. Versuche nachher dran zu denken.
10.04.2009, 19:40	Svenja1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok danke
10.04.2009, 20:36	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} p'_1 = x - <x,1> \cdot 1 = x - \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ Ist noch richtig, aber bei der \|\| \|\| musst du auch das Integral nehmen.
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11.04.2009, 11:19	Svenja1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm... Das würde dann so $\begin{eqnarray} \|\|p'_1\|\| = \int_0^1 x- \frac{1}{2} dx = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x \mid^1_0 = 0 \end{eqnarray}$ aussehen?
11.04.2009, 15:38	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein! $\begin{eqnarray} \\|p\\| = \sqrt{\langle p,p\rangle}. \end{eqnarray}$
11.04.2009, 18:39	Svenja1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahhhhaaaa Jetzt habe ich es verstanden. Danke

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