Einheitswurzeln in p-adischen Zahlen

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plizzz Auf diesen Beitrag antworten »
Einheitswurzeln in p-adischen Zahlen
Huhu,
habe folgenden Satz vor mir:

Für eine beliebige Primzahl p und eine beliebige Ganzzahl m, die teilerfremd zu p ist, existiert eine primitive m-te Wurzel von 1 in gdw. m|(p-1).

Nun ist meine Frage:
Was ist denn, wenn m und p nicht teilerfremd sind? Da p eine Primzahl ist, ist
. Weitergebracht hat mich dieser Ansatz aber noch nicht.

Wäre cool, wenn das jemand wüsste, auch wenn die p-adischen Zahlen wohl nicht so jedermanns Sache sind.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »
p-adische Einheitswurzeln
Dass der Körper der -adischen Zahlen und sogar schon der Ring der ganzen -adischen Zahlen die .ten Einheitswurzeln enthält, folgt mit dem "Henselschen Lemma" aus dem "Kleinen Satz von Fermat". Falls es dich interessiert, wie das geht, hier ein Link: http://www.math.utah.edu/~preszler/research/Qp.pdf

(Rechnungen mit natürlichen Zahlen helfen da nicht weiter, schon gar nicht, wenn bereits der Anfang völlig falsch ist.)
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