Find alle Gruppenhomomorphismen

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12.04.2009, 14:43	goe.alexander	Auf diesen Beitrag antworten »
Find alle Gruppenhomomorphismen Hallo, folgende aufgabe bei der ich nicht weiter weiß: ich soll alle gruppenhomomorphismen von (Z/12,) -> (Z/5,+) bestimmen. (Z/12,) sind die zaheln 1,5,7,11 und die multiplikation (Z/5,+) sind die zahlen 0,1,2,3,4 und die addition. jetzt muss gelten: f(ab)=f(a)+f(b) mit a,b elemente von (Z/12) kann mir jemand helfen? gruß alex
12.04.2009, 19:52	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Homomorphismen Es ist noch nicht ganz sicher, ob meine Antwort schon ausreicht, um alle Homomorphismen $\begin{eqnarray} ((\mathbb Z/12\mathbb Z)^\times,) \rightarrow ((\mathbb Z/5\mathbb Z),+) \end{eqnarray}$ zu finden. Jedenfalls fällt sofort auf, dass $\begin{eqnarray} a^2=1 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} a\in ((\mathbb Z/12\mathbb Z)^\times,) \end{eqnarray}$ gilt. Wegen $\begin{eqnarray} f(a)+f(a)=f(aa)=f(a^2)=f(1)=0 \end{eqnarray}$ schränkt das die möglichen Bilder $\begin{eqnarray} f(a)\in ((\mathbb Z/5\mathbb Z),+) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} a\in ((\mathbb Z/12\mathbb Z)^\times,) \end{eqnarray}$ ein. P.S. An meiner Antwort kannst du ein bißchen $\begin{eqnarray} latex \end{eqnarray}$ lernen Frohe Ostern
12.04.2009, 20:10	goe.alexander	Auf diesen Beitrag antworten »
erste frage: wie erkenne ich den latex code bei dem was du geschrieben hast? zweite frage: was meinst du mit f(a²)=f(1)=0? gruß alex edit: achso! um den kern zu bestimmen?
12.04.2009, 22:22	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
erste antwort. bewege die maus über meinen angezeigten text, dann erscheint der latex-code zweite antwort. teil1. $\begin{eqnarray} a^2=1\Rightarrow f(a^2)=f(1) \end{eqnarray}$ zweite antwort. teil2. das bild des neutralen elements unter einem homomorphismus ist immer das neutrale element (ist doch klar, weil kern(f) eine untergruppe ist, also das neutrale element enthalten muß - direktere beweise sind noch langweiliger), also $\begin{eqnarray} f(1)=0 \end{eqnarray}$ .
12.04.2009, 22:55	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Bild von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist eine Untergruppe einer Gruppe der Ordnung 5. Satz von Lagrange!
12.04.2009, 23:06	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh , ich habe mir die falsche Seite angesehen. Alles klar. Frohe Ostern
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13.04.2009, 09:08	goe.alexander	Auf diesen Beitrag antworten »
und wenn ich das dann richtig sehe, muss die mächtigkeit der untergruppe die gruppenordnung 5 teilen oder? da 5 eine primzahl ist, kommen also nur die zahlen 1 und 5 in frage. mit 1 wäre es dann nur das neutrale element und mit 5 komplett Z/5. soweit richtig? wie soll es weiter gehen?
13.04.2009, 09:30	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Na, versuche einmal, vier Elemente auf fünf surjektiv abzubilden ...
13.04.2009, 09:42	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppenhomomorphismus 1. Der umständliche Weg wäre gewesen, meinen Hinweis auszuwerten. In $\begin{eqnarray} (\mathbb Z/5 \mathbb Z,+) \end{eqnarray}$ ist 1+1=2, 2+2=4, 3+3=1, 4+4=3, also niemals $\begin{eqnarray} f(a)+f(a)=0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} f(a) \neq 0 \end{eqnarray}$ . Also folgt was? 2. Leopold's Hinweis ist viel besser, und dir ist ja auch schon klar, daß das Bild $\begin{eqnarray} f(\mathbb Z/5 \mathbb Z,+) \end{eqnarray}$ entweder 1 Element oder 5 Elemente hat. Der Rest ist wirklich trivial ! (Wieviele Bilder $\begin{eqnarray} f(a) \end{eqnarray}$ könenn vier Urbilder $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ höchstens haben ?)
13.04.2009, 09:50	goe.alexander	Auf diesen Beitrag antworten »
hey klar, vier urbilder können höchstens 4 bilder haben und damit hätte meine "zielgruppe" höchstens die mächtigkeit 4. da ich aber nur die wahl habe zwischen 1 und 5 habe muss es ja 1 sein und damit das neutrale element.

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