Hauptideale

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12.04.2009, 19:11	plizzz	Auf diesen Beitrag antworten »
Hauptideale Tag, stehe etwas auf dem Schlauch und denke, dass ihr mir helfen könnt. Ich lese mich grade etwas in Ideale/Hauptideale rein und dabei stellt sich mir folgende Frage: Wikipedia schreibt: "Ein Hauptideal eines Ringes R ist ein von einem einzigen Element $\begin{eqnarray} a\in R \end{eqnarray}$ erzeugtes Ideal $\begin{eqnarray} (a) := \left(\{a\}\right). \end{eqnarray}$ Nun meine Frage: Wenn wir uns in einem Ring befinden und dabei von dem Erzeugnis von a sprechen (wie zB beim Hauptideal), ist das dann das additive oder multiplikative Erzeugnis? Sprich $\begin{eqnarray} 1. \ (a) := \{a^k, k \in \mathbb N\} \ multiplikativ \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} 2. \ (a) := \{ka, k \in \mathbb N\} \ additiv \end{eqnarray*}$ ? Oder stehe ich völlig auf dem Schlauch? Danke schonmal
12.04.2009, 19:20	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Weder noch. Ich vermute einmal du befindest dich in einem kommutativen Ring, sonst müsstest du zwischen Links- und Rechtsideal unterscheiden. Das Linksideal ist beispw. $\begin{eqnarray} Ra = \{ ra \| a\in R\} \end{eqnarray}$
12.04.2009, 19:41	plizzz	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ich befinde mich in einem kommutativen Ring. Heißt das, $\begin{eqnarray} (a) = \{ra \| r \in R \} \end{eqnarray*}$ oder wie?
12.04.2009, 19:55	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ideal ja
12.04.2009, 22:58	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Hauptideal Nachtrag. JA, wenn der Ring ein kommutativer Ring mit Einselement ist. $\begin{eqnarray} (4)=4\cdot \mathbb Z \end{eqnarray}$ ist ein Hauptideal in $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} (4) \end{eqnarray}$ ist auch ein Hauptideal in $\begin{eqnarray} 2\cdot \mathbb Z \end{eqnarray}$ , aber $\begin{eqnarray} (4)=2\cdot (2\cdot \mathbb Z)\neq 4\cdot (2\cdot \mathbb Z) \end{eqnarray}$ .
18.04.2009, 17:41	plizzz	Auf diesen Beitrag antworten »
Greife das Thema nochmal auf, da ich bisher nicht dazu gekommen war, nochmal zu antworten. Kann mir jemand ein Beispiel für ein Ideal nennen, das kein Hauptideal ist? Gibt es sowas auch in $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ ? Oder genauer: Ist $\begin{eqnarray} (2,3) \ = \ (2) \cup (3) \ = \ \{2,3,4,6,8,9,10,12,...\} \end{eqnarray}$ so ein Ideal, das kein Hauptideal ist? Danke
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18.04.2009, 18:00	plizzz	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry für den Doppelpost. Habe grade die richtige Definition gefunden. Demnach ist $\begin{eqnarray} (a,b) \ = \ \{ar_1+br_2\|r_1,r_2 \in R \} \end{eqnarray}$ also ist das oben angegebene falsch. Trotzdem meine Frage: Gibt es ein echtes Ideal in $\begin{eqnarray} \mathbb Z \ \end{eqnarray}$ , das kein Hauptideal ist, wenn man voraussetzt, dass a und b teilerfremd sind?
18.04.2009, 19:34	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ideale in Z $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ ist ein Hauptidealring, d.h. alle seine Ideale sind Hauptideale. Sie haben demnach die Form $\begin{eqnarray} (m)=m\mathbb Z \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} m\in \mathbb Z \end{eqnarray}$ .
18.04.2009, 20:29	plizzz	Auf diesen Beitrag antworten »
Was hier stand, ist mir gerade selbst klar geworden. Und zwar nehme ich an, dass das Erzeugnis von 2 Elementen immer gleich (1) (beide Elemente ungerade oder gerade/ungerade oder (2) (beide Elemente gerade) ist. Aber wie ist der Ansatz für den Beweis? Danke für die Hilfe, Elvis!
19.04.2009, 09:46	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Hauptidealring Z Ist $\begin{eqnarray} (R,+,\cdot) \end{eqnarray}$ ein Ring, so ist ein Ideal $\begin{eqnarray} A\subset R \end{eqnarray}$ 1. eine Untergruppe der additiven Gruppe des Rings (R,+), und es gilt 2. $\begin{eqnarray} RA=\lbrace ra: r\in R,a\in A\rbrace \subset A \end{eqnarray}$ In $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ sind $\begin{eqnarray} m\mathbb Z \end{eqnarray}$ alle Untergruppen, das sind auch Ideale in $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ , also alles Hauptideale. Zu Untergruppen in $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ beachte, daß eine Untergruppe $\begin{eqnarray} H\subset \mathbb Z \end{eqnarray}$ ein kleinstes positives Element $\begin{eqnarray} m\in \mathbb Z \end{eqnarray}$ enthält. Es ist dann (leicht zu zeigen, daß) $\begin{eqnarray} H=m\mathbb Z \end{eqnarray}$ . Zu Idealen ist noch zu bemerken, daß mit $\begin{eqnarray} a,b\in m\mathbb Z \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} ggT(a,b)=x\cdot a+y\cdot b\in m\mathbb Z \end{eqnarray}$ , denn der "Euklidische Algorithmus" liefert eine Linearkombination des $\begin{eqnarray} ggT(a,b) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x,y\in \mathbb Z \end{eqnarray}$ .

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