Orthogonales Komplement

13.04.2009, 09:43

Ulf12345

Orthogonales Komplement

Hi, ich hätte Mal eine Frage:

Ich habe V=Mat(2,2;IR) und U=Span(v,w) gegeben. Nun habe ich das Orthogonale Komplement U'=(v',w') berechnet.

Nun ist gefordert eine Orthonormalbasis von V anzugeben.

Muss ich nun die Vektoren v,w,v',w' nur noch orthonormieren oder muss ich v,w zu einer basis von V ergänzen und dann Gram-Schmidt anwenden?

13.04.2009, 09:48

Leopold

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Wenn $\begin{eqnarray*} U' \end{eqnarray*}$ das orthogonale Komplement von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ist, dann stehen ja die Elemente von $\begin{eqnarray*} U' \end{eqnarray*}$ schon senkrecht auf denen von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ . Dann mußt du dir eigentlich nur noch eine orthogonale Basis von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ und eine solche von $\begin{eqnarray*} U' \end{eqnarray*}$ beschaffen. Zum Schluß die Vektoren noch normieren.

13.04.2009, 09:55

Ulf12345

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Wenn meine Vektoren von U und U' alle vier linear unabhängig sind und alle orthogonal zueinander, dann ergibt sich doch automatisch eine Orthogonalbasis von V, richtig?

Dann bleibt doch nur noch das Normieren auf die Länge 1 über?

13.04.2009, 12:24

Raumpfleger

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Zitat:

Original von Ulf12345
Wenn meine Vektoren von U und U' alle vier linear unabhängig sind und alle orthogonal zueinander, dann ergibt sich doch automatisch eine Orthogonalbasis von V, richtig?

Ja, wenn sie paarweise orthogonal zueinander sind. Und ja, dann muss man diese Vektoren nur noch normieren.

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