Herleitung der Newton Côtes Formeln

13.04.2009, 10:52	Lucy	Auf diesen Beitrag antworten »
Herleitung der Newton Côtes Formeln Hallo zusammen, also ich brauche ein bisschen Hilfe bei der Herleitung der Newton Côtes Formeln. Mit der Eklärung im Buch komme ich gar nicht klar und da habe ich eine scheinbar einfache Herleitung auf Wikipedia gefunden. $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b}~f(x)~dx=Q(f)+E(f) \end{eqnarray}$ Dabei ist Q(f) die Quadraturformel und E(f) der Fehler. Die allgemeine Quadraturformel für eine Teilfläche lautet: $\begin{eqnarray} Q(f)~=~\sum_{j=1}^m~\beta_{j} (b - a)^{j+1}f(x_{0},...,x_{j}) \end{eqnarray}$ mit den Koeffizienten $\begin{eqnarray} z_{j}=\frac{x_{j} - a} {b-a} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \beta_{0}=1 \end{eqnarray}$ und für j=1,2,...,m $\begin{eqnarray} \beta_{j} = \int_{0}^{1}~(z-z_{0})...(z-z_{j-1})dz \end{eqnarray}$ Nun habe ich zuerst versucht die Sehnentrapezformel herzuleiten: mit $\begin{eqnarray} m=1 ~~ x_{0}=a ~~ x_{1}=b \end{eqnarray}$ das geht auch erstmal sehr gut, ich bekomme raus: $\begin{eqnarray} z_{0}=0 ~~~~ z_{1}=1 ~~~~ \beta_{0}=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \beta_{1}=\frac {1} {2} ~~~~ \beta_{2}= - \frac {1} {6} \end{eqnarray}$ wobei man $\begin{eqnarray} \beta_{2} \end{eqnarray}$ für den Fehler braucht! also habe ich nun nach einsetzten in die allgemeine Quadraturformel folgendes: $\begin{eqnarray} Q(f)=(b-a)f(a)+\frac{1}{2} (b-a)^2 f(a,b) \end{eqnarray}$ und damit komme ich nicht auf die Formel $\begin{eqnarray} Q(f)=\frac {b-a} {2} (f(a)+f(b)) \end{eqnarray}$ Wo ist den da mein Fehler? Und wofür steht eigentlich $\begin{eqnarray} f(a,b) \end{eqnarray}$ ? Zur Hilfe die Seite findet man unter: http://de.wikipedia.org/wiki/Numerische_Integration Bei der Herleitung der Simpsofolge habe ich ein ähnliches Problem am Ende. Ein kleiner Tipp oder eine Idee für die Richtige Herleitung wäre echt super, lg Lucy
14.04.2009, 10:38	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Herleitung der Newton Côtes Formeln Tipp: Boardsuche im Workshop-Forum. Edit: Bist du dir mit den Formeln sicher? Wenn bei f mehrere Sachen drin stehen, muss es sich imho um eine dividierte Differenz handeln. Lies mal das hier: [WS] Numerische Integration - Beispiele [WS] Numerische Integration -Theorie

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